欧拉函数学习笔记

定义

$\phi (n)$(读作fai)定义为[1, n]中与n互质的数的个数

显然，当 $n$ 是素数时， $\phi (n)=n-1$

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欧拉函数的求法

关于 $\phi (n)$ ，有几种不同的求法，视情况使用。

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首先呢，我们需要知道一个性质。

两个数$a,b$ 互质时，$\phi (ab)=\phi (a)\ast \phi (b)$
这是欧拉函数的积性性质，具体证明可以参考网上撒（因为我不会，我们对欧拉函数的求法，基本上都会基于此性质。

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① 基于质因数分解的求法

考虑 $p，q$都是素数，$n=p\ast q$的情况。
由容斥原理：
$$\phi (n)=n-\frac{n}{p}-\frac{n}{q}+\frac{n}{pq}=n(1-\frac{1}{p})(1-\frac{1}{q})=(p-1)\ast (q-1)=\phi (p)\ast \phi (q)$$
拓展到多个素因子的情况 $n=p_1^{k_1}{p}_2^{k_2}....p_m^{k_m}$
那么
$$\begin{gathered} \phi (n)=\prod _{i=1}^m\phi (p_i) \\ =n(1-\frac{1}{p_1})...(1-\frac{1}{p_m}) \end{gathered}$$
( 其实把二式拆开，我们会发现满足容斥原理 ）
那么我们就得到了求 $\phi (n)$ 的 第一种方法，就是求出 $n$ 的 素因子（俗称质因数分解=。=
复杂度 $O(\sqrt{n})$

代码如下：

int phi(int x) {
    int ret = x;
    for (int i = 2; i * i <= x; ++i)
        if (x % i == 0) {
            while (x % i == 0) x /= i;
            ret = ret / i * (i - 1);
        }
    if (x > 1) ret = ret / x * (x - 1);
    return ret;
}

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② 线性求法

继续考虑
$$n=p_1^{k_1}{p}_2^{k_2}....p_m^{k_m}$$

Ⅰ $k_1=1$

那么 $n/p_1$ 与 $p_1$互质，由积性函数可得：
$$\phi (n)=\phi (n/p_1)\ast \phi (p_1)=\phi (n/p1)\ast (p1-1)$$

Ⅱ $k_1>=2$

那么 $n/p_1$ 与 $n$ 有共同的素因子，也就是说，与 $n$ 互质的数，同时也与 $n/p1$ 互质。
利用这个性质，我们考虑用 $\phi (n/p_1)$ 来递推。
由 $$gcd(a,b)=gcd(a+kb,b)$$

因此 $$\phi (n)=\phi (n/p_1)\ast p_1$$

因此我们先用线性筛求出 $n$ 的最小素因子，然后递推即可。

代码如下

for(i = 2; i <= m; i++){
		if(!x[i]) x[i] = p[++cnt] = i;
		for(j = 1; j <= cnt; j++){
			t = p[j] * i;
			if(t > m) break;
			x[t] = p[j];
			if(i % p[j] == 0) break;
		}
	}
	phi[1] = 1;
	for(i = 2; i <= m; i++){
		if(x[i / x[i]] == x[i]) phi[i] = phi[i / x[i]] * x[i];
		else phi[i] = phi[x / x[i]] * (x[i] - 1);
	} 

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欧拉函数的应用

① 将求和问题转化为求个数问题

eg. 求 $$s=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{n}gcd(i,j)$$
考虑枚举 $d=gcd(i,j)$
那么 $$\begin{gathered} s=\sum _{d=1}^{n}d\ast \sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n[gcd(i,j)==d] \\ =\sum _{d=1}^{n}d\ast \sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n[gcd(i/d,j/d)==1] \\ =\sum _{d=1}^{n}d\ast (2\ast \sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^i[gcd(i/d,j/d)==1]-1) \\ =\sum _{d=1}^{n}d\ast (2\ast \sum _{i=1}^n\phi (i/d)-1) \\ =\sum _{d=1}^{n}d\ast (2\ast \sum _{i=1}^{n/d}\phi (i)-1) \end{gathered}$$
预处理个前缀和即可。
这种想法非常常见！！！！！很重要！！！

② 欧拉定理及拓展

欧拉定理：如果$a,n$互质，那么$a^{\phi (n)}\equiv 1(modn)$

证明

构造简化剩余系证明就可以了。

拓展欧拉定理：

$b>phi(n)$ 时，$a^b\equiv a^{bmod\phi (n)+\phi (n)}(modn)$

证明

证明 $a^{\phi (n)}\equiv a^{2\phi (n)}(modn)即可$
证明：设$n=n_1{n}_2$,其中$n1=(a^{\infty },n)$
则有$(a,n_2)=(n_1,n_2)=1$
注意到$\phi (n)\ge log2n$，因此$n_1|a^{\phi (n)}$, $a^{\phi (n)}\equiv a^{2\phi (n)}\equiv 0(mod{n}_1)...(1)$
又由$(n_1,n_2)=1$得 $\phi (n)=\phi (n_1)\phi (n_2)$,
由欧拉定理$a^{\phi (n)}\equiv a^{2\phi (n)}\equiv 1(mod{n}_2)...(2)$
中国剩余定理合并12两式得证。
推论：$b>phi(n)$ 时，$a^b\equiv a^{bmod\phi (n)+\phi (n)}(modn)$

得到欧拉定理及拓展，我们就可以利用欧拉定理来降幂。

eg.求 $7^{222}mod10$
分析：(7, 10)=1, 故$7^{\phi (10)}=7^5\equiv 1(mod10)$
所以$7^{222}\equiv 7^{222mod5}=7^2=49\equiv 9(mod10)$
即$7^{222}mod10=9$

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一些例题

[SDOI2012] Longge的问题 （利用第一条应用

[SDOI2008]沙拉公主的困惑 (利用gcd的性质

bzoj 3884 上帝与集合的正确用法（利用欧拉定理降幂