牛客多校第九场 KM and M（类欧几里得）

Flyppy_White

于 2019-08-17 00:56:34 发布

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分类专栏：数学

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本文针对牛客多校第九场竞赛中的KMandM题目，详细解析了如何利用类欧几里得算法解决∑k=1n(kM)&M(mod 109+7)的问题。通过分析M的二进制位，将问题转换为计算⌊kM2i⌋的前缀和，最终通过AC代码实现了高效求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

牛客多校第九场 KM and M（类欧几里得）

题目大意

给出n和M，求
$\sum_{k=1}^n(kM)\&M(mod\ 10^9+7)$

解题思路

对于kM&M对于M的每个二进制位考虑就是 $⌊kM2i⌋−2⌊kM2i+1⌋\left\lfloor\frac{kM}{2^i}\right\rfloor-2\left\lfloor\frac{kM}{2^{i+1}}\right\rfloor$

由此问题就只需要计算 $⌊kM2i⌋\left\lfloor\frac{kM}{2^i}\right\rfloor$ 的前缀和，通过类欧几里得即可算出

AC代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
const long long inv2=(mod+1)/2;
typedef long long ll;
ll Sum(ll a,ll b,ll c,ll n){
    if (!a) return 0;
    ll x,y;
    if(a>=c||b>=c){
        x=Sum(a%c,b%c,c,n);
        y=((a/c)%mod*(n%mod)%mod*((n+1)%mod)%mod*inv2+b/c%mod*((n+1)%mod)+x)%mod;
        y=(y+mod)%mod;
        return y;
    }
    ll m=((__int128)a*n+b)/c;
    x=Sum(c,c-b-1,a,m-1);
    y=((__int128)n*m-x)%mod;
    y=(y+mod)%mod;
    return y;
}
int main()
{
    ll n,m;
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    ll ans=0;
    for(ll p=1,loc=0;p<=m;p*=2,loc++)
    {
        if(m&(1LL<<loc))
        ans=(ans+p%mod*((Sum(m,0,p,n)-2*Sum(m,0,2*p,n))%mod+mod))%mod;
    }
    printf("%lld\n",ans);
}