单位根反演

前言

单位根反演一般用于 $i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}k$ 中，通过枚举 $j=i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}k$，来将式子进行转化，转化为 $k$ 次单位根下的操作。一般要求 $k|(mod-1)$。

单位根反演归结于一个等式

$$[n|a]=\frac{1}{n}\sum _{i=0}^{n-1}{\omega }_n^{ai}$$
让我们来证明一下这个式子。

1. $a\ne 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$
   根据等比数列求和，右式等于 $\frac{1}{n}\frac{{\omega }_n^{an}-1}{{\omega }_n^a-1}$。其中，${\omega }_n^a\ne 1$，而 ${\omega }_n^{an}=1$，因此右式为 $0$。
2. $a\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$
   此时 ωnai=1\omega_{n}^{ai}=1ω