本文介绍了整数拆分的概念，给出了拆分数的生成函数及其与欧拉函数的关系，并通过五边形数定理阐述了递推公式。讨论了HDU 4658问题，要求在限制条件下计算整数的拆分数，提出利用生成函数和递推的方法解决，复杂度为O(n^2)和O(nlogn)。
定义
对于一个非负整数 n n n，它的一个拆分定义为若干个正整数 a 1 , a 2 , . . . , a k a_1,a_2,...,a_k a1,a2,...,ak，满足：
- a 1 + a 2 + . . . + a k = n a_1+a_2+...+a_k=n a1+a2+...+ak=n
- a 1 ≤ a 2 ≤ . . . ≤ a k a_1\le a_2\le ...\le a_k a1≤a2≤...≤ak
其中，第二个条件是为了避免重复计算，如 6 = 1 + 2 + 3 6 = 1 + 2 + 3 6=1+2+3 和 6 = 3 + 2 + 1 6=3+2+1 6=3+2+1 为同一方案。
令 p n p_n pn 表示 n n n 不同的拆分方案数。例如， 4 = 3 + 1 = 2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 14 = 4 = 3 + 1 = 2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 4=3+1=2+2=2+1+1=1+1+1+14=4=3+1=2+2=2+1+1=1+1+1+1 4=3+1=2+2=2+1+1=1+1+1+14=4=3+1=2+2=2+1+1=1+1+1+1，于是 p 4 = 5 p_4=5 p4=5。
对于 p n p_n pn 的生成函数 P ( x ) P(x) P(x)，我们可以通过枚举 1 1 1 的数量，枚举 2 2 2 的数量…，枚举 n n n 的数量得到，即 P ( x ) = ( ∑ i = 0 ∞ x i ) ( ∑ i = 0 ∞ ( x 2 ) i ) . . . ( ∑ i = 0 ∞ ( x n ) i ) = 1 1 − x 1 1 − x 2 . . . 1 1 − x n = ∏ k = 1 ∞ 1 1 − x k P(x)=(\sum\limits_{i=0}^{\infty}x^i)(\sum\limits_{i=0}^{\infty}(x^2)^i)...(\sum\limits_{i=0}^{\infty}(x^n)^i)=\frac{1}{1-x}\frac{1}{1-x^2}...\frac{1}{1-x^n}=\prod\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{1-x^k} P(x)=(i=0∑∞xi)(i=0∑∞(x2)i)...(i=0∑∞(xn)i)=1−x11−x21...1−xn1=k=1∏∞1−xk1。
五边形数定理
定义欧拉函数 ϕ ( x ) = ∏ k
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