函数与表达式的反演变换

下面提到的所有知识不一定同属一个范畴，但是它们的思想和作用相似，所以将其归为一篇文章。

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莫比乌斯反演

请先学习狄利克雷卷积，否则您会一脸懵逼。

一般式：
$$\begin{array}{r}F(n)=\sum _{d|n}G(d)\to G(n)=\sum _{d|n}\mu (\frac{n}{d})F(d)\\ F(n)=\sum _{n|d}G(d)\to G(n)=\sum _{n|d}\mu (\frac{d}{n})F(d)\end{array}$$

证明可以考虑下面恒等式的第一条。

然后再放一些有助于反演的恒等式：（其中 $\ast$ 指狄利克雷卷积，$ϵ(n)$ 表示 $[n=1]$）
$$\begin{array}{rl}& \mu \ast 1=ϵ\\ & \phi \ast 1=id\\ & \mu \ast id=\mu \ast 1\ast \phi =ϵ\ast \phi =\phi \\ & \phi (n)=\sum _{i=1}^nϵ(\gcd (n,i))\\ & \phi (nm)=\frac{\phi (n)\phi (m)\gcd (n,m)}{\phi (\gcd (n,m))}\\ & \sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^nϵ(\gcd (i,j))=2\cdot (\sum _{i=1}^n\phi (i))-1\\ & \sum _{d|ij}1=\sum _{x|i}\sum _{y|j}ϵ(\gcd (x,y))\\ & \sum _{d|ijk}1=\sum _{x|i}\sum _{y|j}\sum _{z|k}ϵ(\gcd (x,y))ϵ(\gcd (y,z))ϵ(\gcd (x,z))\\ & \cdots \cdots \end{array}$$

推完式子之后，可以考虑用一些数论筛法预处理某些项，或是用整除分块求值。

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拿一道例题来讲解吧。

一共 $T$ 组询问 $(T\le 10^4)$，给定常数 $K$，每次询问单独给定 $N$，满足 $N\le 10^7$，求出：
$$\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^N(i+j{)}^K\gcd (i,j){\mu }^2(\gcd (i,j))(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{2}^{32})$$
看模数 $2^{32}$，显然可以自然溢出，这可以帮助我们减小常数。

接下来表演推式子：
$$\begin{array}{rl}原式& =\sum _{d=1}^N\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^N[\gcd (i,j)=d]((i+j{)}^{K}d{\mu }^2(d))\\ & =\sum _{d=1}^N{d}^{K+1}{\mu }^2(d)\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{N}{d}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{N}{d}\rfloor }ϵ(\gcd (i,j))(i+j{)}^K\\ & =\sum _{d=1}^N{d}^{K+1}{\mu }^2(d)\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{N}{d}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{N}{d}\rfloor }(i+j{)}^K\sum _{x|\gcd (i,j)}\mu (x)\\ & =\sum _{d=1}^N{d}^{K+1}{\mu }^2(d)\sum _{x=1}^{\lfloor \frac{N}{d}\rfloor }{x}^K\mu (x)\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{N}{dx}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{N}{dx}\rfloor }(i+j{)}^K\\ & =\sum _{T=1}^N{T}^K\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{N}{T}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{N}{T}\rfloor }(i+j{)}^K\sum _{d|T}d{\mu }^2(d)\mu (\frac{T}{d})\end{array}$$
到这里式子就是可做的了。

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我猜你现在肯定一脸懵。

那就先来讲一讲吧。

• $Step1$

我们考虑枚举这个 $\gcd$ 的值。

为什么这里要做这样一个看似只会添一层循环的无意义举动呢？

可以发现，在后面的式子中多出了一个艾弗森括号，这个括号里写下的等式是可以转化为单位元的形式的。

• $Step2$

我们考虑对于每一个 $d$，只枚举 $d$ 的倍数。

（实际上，此时枚举的 $i,j$ 在后面的运算中会乘上一个 $d$。）

这样，艾弗森括号中的等式就可以被改写了，具体来说就是 $[\gcd (id,jd)=d]=[\gcd (i,j)=1]$。

在上面的式子中，后者已经写成了单位元的形式。

值得注意的是，由于 $i,j$ 实际上除去了一个 $d$，所以运算中多出来的一个 $d^K$