斯特林数及其性质

第一类斯特林数

定义

$\left[\begin{array}{c}n\\ m\end{array}\right]$ 或 $s(n,m)$ ，表示 $n$ 个不同的数分成 $m$ 个无序圆排列的方案数。

这个是可以递推的，考虑最后一个数单独成环还是加入到前面的环中，有：
$$\left[\begin{array}{c}n\\ m\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}n-1\\ m-1\end{array}\right]+(n-1)\left[\begin{array}{c}n-1\\ m\end{array}\right]$$
因此可以 $O(nm)$ 求出 {[ij]∣i∈[0,n],j∈[0,m]}\{\begin{bmatrix}i\\j\end{bmatrix}|i\in[0,n],j\in[0,m]\}{[ij​]∣i∈[0,n],j∈[0,m]}。

性质

• $n!=\sum _{i=1}^n\left[\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right]$
  一个排列本质上就是由若干个圆排列组成，于是我们可以枚举圆排列的数量。
• $x^{\overline{n}}=\sum _{i=0}^n\left[\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right]x^i$
  其中，$x^{\overline{n}}=x(x+1)...(x+n-1)$，称之为 $x$ 的 $n$ 次上升幂。对于这个式子，我们可以考虑归纳证明。考虑 $k=n-1$ 时，$x^i$ 的系数，记作 $f(n-1,i)$；$k=n$ 时，乘多了个 $x+n-1$，那么 $f(n,i)=f(n-1,i-1)+(n-1)f(n-1,i)$，发现这就是第一类斯特林数的递推式呀。
• $x^{\underline{n}}=\sum _{i=0}^n(-1{)}^{n-i}\left[\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right]x^i$
  其中，$x^{\underline{n}}=x(x-1)...(x-n+1)$，称之为 $x$ 的 $n$ 次下降幂。该式的证明，我就不证了。

第二类斯特林数

定义

$\left\{\begin{array}{c}n\\ m\end{array}\right\}$ 或 $S(n,m)$，表示 $n$ 个不同的数分成 $m$ 个无序集合的方案数。
这个也是可以递推的，考虑最后一个数单独作为一个集合或者是放入之前的集合中，有：
$$\left\{\begin{array}{c}n\\ m\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}n-1\\ m-1\end{array}\right\}+m\left\{\begin{array}{c}n-1\\ m\end{array}\right\}$$
因此可以 $O(nm)$ 求出 {{ij}∣i∈[0,n],j∈[0,m]}\{\begin{Bmatrix}i\\j\end{Bmatrix}|i\in[0,n],j\in[0,m]\}{{ij​}∣i∈[0,n],j∈[0,m]}。

性质

• $m^n=\sum _{i=0}^n{C}_m^i\left\{\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right\}i!$
  考虑该式的组合意义：$n$ 个不同的球，放入 $m$ 个不同的盒子中，每个盒子可以空的方案数。我们可以放了球的盒子个数 $i$，那么有 $C_m^i$ 种选法，然后把 $n$ 个球放进 $i$ 个不同盒子中，方案数为 $\left\{\begin{array}{c}n\\ m\end{array}\right\}i!$。
• 如果将上式的组合数乘进式子里，我们可以得到：
  $$m^n=\sum _{i=0}^n\left\{\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right\}{m}^{\underline{i}}$$

求斯特林数

第一类斯特林数 · 行

求 $\left[\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right]...,\left[\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right]$，其中 $n\le 10^5$。
考虑生成函数 $x^{\overline{n}}=\sum _{i=0}^n\left[\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right]x^i$。
我们只需要快速求出 $x^{\overline{n}}$ 的各项系数即可。可以用分治 $FFT$ 在 $O(nlo{g}^{2}n)$ 求出。但是分治 $NTT$ 太 $naive$ 了，这个是可以倍增 $NTT$ 来求的。
考虑从 $x^{\overline{n}}$ 推到 $x^{\overline{2n}}$。首先显然有 $x^{\overline{2n}}=x^{\overline{n}}(x+n{)}^{\overline{n}}$。
假设我们已经求出了 $x^{\overline{n}}$，记作 $f(x)$，现在要求 $f(x+n)$。
而 $f(x+n)=\sum _{i=0}^n{f}_i(x+n{)}^i=\sum _{i=0}^n{f}_i\sum _{j=0}^i{C}_i^j{x}^j{n}^{i-j}=\sum _{j=0}^n\frac{x^j}{j!}\sum _{i=j}^n\frac{n^{i-j}}{(i-j)!}i!f_i$
后面那一部分是个卷积形式，记 $g_j=\sum _{i=j}^n\frac{n^{i-j}}{(i-j)!}i!f_i$，翻转一下 $i!f_i$ 后，我们可以用 $NTT$ 快速求出 $g_j$。
时间复杂度是 $T(n)=T(n/2)+O(nlogn)=O(nlogn)$。

第一类斯特林数 · 列

求 $\left[\begin{array}{c}0\\ k\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1\\ k\end{array}\right]...,\left[\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right]$，其中 $n\le 10^5$。
设 $f(1,x)$ 为 $k=1$ 时 $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]...,\left[\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right]$ 的 $EGF$，那么 $f(1,x)=\sum _{i=0}^n\frac{(i-1)!}{i!}{x}^i$。那么 $f(k,n)=\frac{f(1,n{)}^k}{k!}$，除掉 $k!$ 是因为环之间是没有顺序的。
然后多项式快速幂即可，复杂度 $O(nlogn)$。

第二类斯特林数 · 行

求 $\left\{\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}\right\},\left\{\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right\}...,\left\{\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right\}$，其中 $n\le 10^5$。
其实，第二类斯特林数还可以这样求。我们可以先给集合标序，然后再把方案数除掉 $m!$，这样做可行的原因是没有非空集合，每一种填数方案都会重复 $m!$ 次。所以根据容斥原理，我们可以枚举空的集合的个数 $i$，然后有 $\left\{\begin{array}{c}n\\ m\end{array}\right\}=\frac{1}{m!}\sum _{i=0}^m(-1{)}^i{C}_n^i(m-i{)}^n$。发现这是个卷积的形式，于是可以用 $NTT$ 在 $O(nlogn)$ 求出。

第二类斯特林数 · 列

求 $\left\{\begin{array}{c}0\\ k\end{array}\right\},\left\{\begin{array}{c}1\\ k\end{array}\right\}...,\left\{\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right\}$，其中 $n\le 10^5$。
和求第一类斯特林数的方法是一样的。
设 $f(1,x)$ 为 $k=1$ 时 $\left\{\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right\},\left\{\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right\}...,\left\{\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right\}$ 的 $EGF$，那么 $f(1,x)=\sum _{i=0}^n\frac{\left\{\begin{array}{c}i\\ 1\end{array}\right\}}{i!}{x}^i=\sum _{i=0}^n\frac{1}{i!}{x}^i$。那么 $f(k,n)=\frac{f(1,n{)}^k}{k!}$，除掉 $k!$ 是因为集合之间是没有顺序的。
然后多项式快速幂即可，复杂度 $O(nlogn)$。

代码

namespace Stiring{
	const int M = 3e5 + 5;
	int fac[M], invf[M];
	void init(int n){
		fac[0] = 1;
		for(int i = 1; i <= n; i++) fac[i] = (LL)fac[i - 1] * i % mod;
		invf[n] = power(fac[n], mod - 2);
		for(int i = n - 1; i >= 0; i--) invf[i] = (LL)invf[i + 1] * (i + 1) % mod;
	}
	namespace Stiring1{
		poly Get(poly f, int c){//f(x) -> f(x + c)
			poly g(c + 1), h(c + 1);
			for(int i = 0, ck = 1; i <= c; i++, ck = (LL)ck * c % mod) g[i] = (LL)fac[c - i] * f[c - i] % mod, h[i] = (LL)ck * invf[i] % mod;
			g = g * h;
			for(int i = 0; i <= c; i++) h[i] = (LL)invf[i] * g[c - i] % mod;
			return h;
		}
		poly Solve(int n){//x^(up n)
			if(!n) return {1};
			int m = n / 2;
			poly f = Solve(m), g = Get(f, m);
			f = f * g;
			f.resize(n + 1);
			if(n & 1){
				for(int i = n; i >= 0; i--){
					f[i] = (LL)f[i] * (n - 1) % mod;
					if(i > 0) f[i] = (f[i] + f[i - 1]) % mod; 
				}
			}
			return f;
		}
		poly Stiring1_row(int n){
			init(n);
			return Solve(n);
		}
		poly Stiring1_line(int n, int k){
			poly f(n + 1);
			int fack = 1;
			for(int i = 1; i <= k; i++) fack = (LL)fack * i % mod;
			for(int i = 0; i <= n; i++) f[i] = power(i, mod - 2);
			poly_pow2(f, k, 0, k);
			for(int i = 0, fac = 1; i <= n; i++, fac = (LL)fac * i % mod) f[i] = (LL)f[i] * power(fack, mod - 2) % mod * fac % mod;
			f.resize(n + 1);
			return f;
		}
	}using namespace Stiring1;
	namespace Stiring2{
		poly Stiring2_row(int n){
			poly f(n + 1), g(n + 1);
			init(n);
			for(int i = 0; i <= n; i++) f[i] = (LL)power(mod - 1, i) * power(fac[i], mod - 2) % mod, g[i] = (LL)power(i, n) * power(fac[i], mod - 2) % mod;
			f = f * g;
			f.resize(n + 1);
			return f;
		}
		poly Stiring2_line(int n, int k){
			poly f(n + 1);
			int fack = 1;
			for(int i = 1; i <= k; i++) fack = (LL)fack * i % mod;
			for(int i = 1, fac = 1; i <= n; i++, fac = (LL)fac * i % mod) f[i] = power(fac, mod - 2);
			poly_pow2(f, k, 0, k);
			for(int i = 0, fac = 1; i <= n; i++, fac = (LL)fac * i % mod) f[i] = (LL)f[i] * power(fack, mod - 2) % mod * fac % mod;
			f.resize(n + 1);
			return f;
		}
	}using namespace Stiring2;
}
using namespace Stiring;