区间最值操作与历史最值问题（一）

前言

本文主要讲解一种叫做 $SegmentTreeBeats$ 的维护区间取最值操作的问题，以及维护区间历史最值的方法。本文参考自许多博客，以及吉老师 $2016$ 年的集训队论文，会加上很多例题进行讲解QAQ。

区间最值操作

例题一 [HDU5306] Gorgeous Sequence

给出长度为 $n(n\le 1e6)$ 的序列 { An}\{A_n\}{ An​} 和 $m(m\le 1e6)$ 次操作，每次操作为以下三种类型之一：
1.给出 $l,r,k$，对所有 $i\in [l,r]$，将 $A_i$ 变成 $min(A_i,k)$
2.给出 $l,r$，询问序列 $A$ 在区间 $[l,r]$ 的最大值
3.给出 $l,r$，询问序列 $A$ 在区间 $[l,r]$ 的和

在这道题中，第一种操作就叫区间最值操作。
我们把这种操作看作是一种标记，那怎么快速更新区间的信息呢？
可以发现，由于存在不同的值，所以区间的信息是无法更新的。但是如果只有一种值，区间取 $min$ 就变得轻而易举了。
因此，可以想到一个看起来像暴力的做法。
我们用线段树维护每个区间的最大值 $mx$ 和严格次大值 $se$，以及 $mx$ 的个数 $cnt$。
考虑 $1$ 操作，对于一个线段树上的区间，我们分类讨论一下：

• 如果 $mx\le k:$
  那么我们可以直接 $return$
• 如果 $mx>k,se<k:$
  我们在区间打一个 $tag$ 标记，并更新最大值为 $k$，同时更新 $sum=sum-cnt\ast (mx-k)$
• 如果 $se\ge k:$
  因为此时我们并不知道哪些数大于 $t$，于是我们暴力递归子区间

这样子的操作看起来非常滴玄学，但是跑起来却非常滴快，轻松地就把这题 $A$ 了。
吉老师通过势能分析得出这样子操作总的时间复杂度是 $O(nlogn)$ 的。我们也可以换一种角度思考，假设会进行递归，那么一定存在一个节点，满足 $mx>t,se>t$，那么通过这次取 $min$ 之后，$se$ 和 $mx$ 都会变成 $k$。也就是说，值域会减少一。而线段树有 $logn$ 层，每层的值域加起来是 $O(n)$ 的，因此值域最多只有 $O(nlogn)$，所以总的复杂度是 $O((n+m)logn)$ 的(虽然看起来还是很玄学。
为了方便理解，下面给出了这题区间打标记的代码：

void addtag(int rt, int c){
   
    if(mx[rt] <= c) return;
    sum[rt] -= cnt[rt] * (mx[rt] - c);
    mx[rt] = tag[rt] = c;//更新最大值并打标记
}
void pushdown(int rt){
   
    if(tag[rt]){
   
        addtag(lc, tag[rt]);
        addtag(rc, tag[rt]);
        tag[rt] = 0;
    }
}
void update(int l, int r, int rt, int a, int b, int c){
   
    if(mx[rt] <= c) return;
    if(l >= a && r <= b && se[rt] < c){
   //次大值小于 c，最大值大于 c，此时只修改最大值
        addtag(rt, c);
        return;
    }
    pushdown(rt);
    int m = l + r >> 1;
    if(a <= m) update(lson, a, b, c);
    if(b > m) update(rson, a, b, c);
    pushup(rt);
}

例题二 [2020ICPC小米邀请赛网络赛一] E Phone Network

给出长度为 $n$ 的序列 { An}\{A_n\}{ An​} 和 $m$，满足 $A_i\in [1,m]$。$(m\le n\le 2e5)$
对于每个 k∈[1,m]k\in [1,m]k<