区间最值操作与历史最值问题（二）

前言

在 前一篇博客 中，我们详细介绍了区间取最值操作。接下来我们开始介绍区间历史最值问题！

区间历史最值

对于一个序列 $A$，它的历史最值指的是它从初始化到当前达到的最大值 / 最小值，我们称之为历史最大值和历史最小值。维护历史最大值和历史最小值是有一些套路的。

没有区间最值操作时

我们可以采用延用懒标记的做法。
我们要注意到，在线段树上打标记，标记是会有生命周期的。在标记下放之前，我们永远不会访问到子节点。因此，我们可以记录在这个点打的标记的当前值和历史最值，下传标记的时候对子节点的历史最值进行更新。
如果不理解的话也没有关系，我们可以结合例题进行理解！

[BZOJ 3064] CPU监控

给出长度为 $n(n\le 10^5)$ 的序列 $A$，定义一个辅助数组 $B$，初始时与 $A$ 完全相同。给出 $m(m\le 10^5)$ 次操作，每次操作为以下四种操作之一：

1. 给出 $l,r,k$，对于所有 $i\in [l,r]$，将 $A_i$ 加上 $k$
2. 给出 $l,r,k$，对于所有 $i\in [l,r]$，将 $A_i$ 变成 $k$
3. 给出 $l,r$，求序列 $A_i$ 的最大值
4. 给出 $l,r$，求序列 $B_i$ 的最大值

每次操作后，对于所有 $i$，将 $B_i$ 变成 $\max (A_i,B_i)$。

序列 $B$ 就是序列 $A$ 的历史最大值，询问 $4$ 就是询问 $[l,r]$ 中 $A$ 的历史最大值的最大值。
我们先考虑线段树上的每个节点要维护一些什么信息。先考虑只有区间加操作。那么我们肯定需要维护的是区间当前最大值 $mx$，区间历史最大值 $m{x}^{\prime }$，还有这个节点当前加了多少值 $add$，以及这个节点在标记下放前加的值的历史最大值 $ad{d}^{\prime }$。那么标记下传时，我们考虑更新儿子节点的值和标记：
$$\begin{gathered} m{x}_{ch}^{\prime }=\max (m{x}_{ch}^{\prime },m{x}_{ch}+ad{d}_{rt}^{\prime }) \\ ad{d}_{ch}^{\prime }=\max (ad{d}_{ch}^{\prime },ad{d}_{ch}+ad{d}_{rt}) \end{gathered}$$

其实理解了打标记和标记下传的详细过程的话，这个还是很好理解的。
接下来考虑有覆盖操作。我们显然还要维护一个 $cov,co{v}^{\prime }$ 分别表示当前覆盖的值和历史最大覆盖值。我们把标记看成二元组 $(add,cov)$，表示先加上 $add$ 再把值变成 $cov$。那么，考虑加法操作，当 $cov$ 不存在值时，我们直接在 $add$ 上进行加减，否则我们在 $cov$ 上进行加减。根据常识直观理解，这个做法显然是正确的。
下面给出这题的代码。
我的代码真是优美呀

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
#define lson l, m, rt << 1
#define rson m + 1, r, rt << 1 | 1
#define lc rt << 1
#define rc rt << 1 | 1
const int N = 1e5 + 5;
const LL inf = 1e18;
struct node{
   
	LL add, add_;
	LL cov, cov_;
	LL mx, mx_;
}d[N * 4];
void pushup(int rt){
   
	d[rt].mx = max(d[lc].mx, d[rc].mx);
	d[rt].mx_ = max(d[lc].mx_, d[rc].mx_);
}
void build(int l, int r, int rt){
   
	d[rt].cov = d[rt].cov_ = -inf;
	if(l == r){
   
		int x;
		cin >> x;
		d[rt].mx = d[rt].mx_ = x;
		return;
	}
	int m = l + r >> 1;
	build(lson);
	build(rson);
	pushup(rt);
}
void pushadd(int rt, LL k, LL k_){
   
	d[rt].mx_ = max(d[rt].mx_, d[rt].mx + k_); d[rt].mx += k;
	if(d[rt].cov != -inf) d[rt].cov_ = max(d[rt].cov_, d[rt].cov + k_), d[rt].cov += k;
	else d[rt].add_ = max(d[rt].add_, d[rt].add + k_), d[rt].add += k; 
}
void pushcov(int rt, LL k, LL k_){
   
	d[rt].mx_ = max(d[rt].mx_, k_); d[rt].mx = k;
	d[rt].cov_ = max(d[rt].cov_, k_); d[rt].cov = k;
}
void pushdown(int rt){
   
	pushadd(lc, d[rt].add, d[rt].add_);
	pushadd(rc, d[rt].add, d[rt].add_);
	d[rt].add = d[rt].add_ = 0;
	if(d[rt].cov != -inf) pushcov(lc, d[rt].cov, d[rt].cov_), pushcov(rc, d[rt].cov, d[rt].cov_), d[rt].cov = d[rt].cov_ = -inf;
}
void add(int l, int r, int rt, int a, int b, LL c){
   
	if(l >= a && r <= b){
   
		pushadd(rt, c, c);
		return;
	}
	pushdown(rt);
	int m = l + r >> 1;
	if(a <= m) add(lson, a, b, c);
	if(b > m) add(rson, a, b, c);
	pushup(rt);
}
void cov(int l, int r, int rt, int a, int b, LL c){
   
	if(l >= a && r <= b){
   
		pushcov(rt, c, c);
		return;
	}
	pushdown(rt);
	int m = l + r >> 1;
	if(a <= m) cov(lson, a, b, c);
	if(b > m) cov(rson, a, b, c);
	pushup(rt);
}
LL query1(int l, int r, int rt, int a, int b){
   
	if(l >= a && r <= b) return d[rt].mx;
	int m = l + r >> 1;
	pushdown(rt);
	LL ans = -1e18;
	if(a <= m) ans = max(ans, query1(lson, a, b));
	if(b > m) ans = max(ans, query1(rson, a, b));
	return ans;
}
LL query2(int l, int r, int rt, int a, int b){
   
	if(l >= a && r <= b) return d[rt].mx_;
	int m = l + r >> 1;
	pushdown(rt);
	LL ans = -1e18;
	if(a <= m) ans = max(ans, query2(lson, a, b));
	if(b > m) ans = max(ans, query2(rson, a, b));
	return ans;
}
int main(){
   
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0), cout.tie(0);
	int n;
	cin >> n;
	build(1, n, 1);
	int m;
	cin >> m;
	for(int i = 1; i <= m; i++){
   
		char o[3];
		int x, y, z;
		cin >> o >> x >> y;
		if(o[0] == 'Q') cout << query1(1, n, 1, x, y) << '\n';
		if(o[0]