gray5的博客

本文研究了基于Delsarte-Goethals码构造的确定性传感矩阵家族——DG(m, r)框架与DG(m, r)筛，分析了其最坏情况相干性和谱范数，并验证了其在稀疏信号恢复中通过LASSO算法实现唯一解的理论条件。通过数值实验比较了DG矩阵与随机高斯矩阵在无噪声和有噪声环境下的性能，结果表明DG矩阵在信号重建准确性、抗噪能力和计算效率方面均优于传统高斯矩阵。此外，实验揭示了DG筛的随机子矩阵具有类似Wigner半圆律的特征值分布，且平均条件数表现优于理论预测。文章还提出了关于DG筛为紧框架的猜想，并展望

本文探讨了基于Delsarte-Goethals码的两类确定性感知矩阵——Delsarte-Goethals框架与Delsarte-Goethals筛在压缩感知中的应用。这两类矩阵具有低相干性和优良的紧框架性质，能够在稀疏信号恢复中实现高于随机高斯矩阵的成功率。文章分析了其数学构造、相干性界及谱范数特性，并通过LASSO算法进行数值实验，验证了其在无噪声和有噪声环境下的高效恢复性能。同时指出了DG筛在重建时间上的挑战及未来优化方向，展示了其在信号检测与快速重建中的潜力。

本文探讨了具有有限互相关的无限正整数序列的构造与性质，重点分析了序列对之间的差集不相交条件及其与互相关函数的关系。通过引入二进制表示和滑动匹配的概念，定义了三种互相关限制级别，并利用定理揭示了低互相关与差分模式唯一性的等价性。文章展示了多个构造实例，包括基于斐波那契子序列、阶乘立方和完全立方数的序列，讨论了‘Golomb猜想’与‘素数k-元组猜想’之间的矛盾。此外，提出了无限扩展双尺的概念，并采用贪心算法构造满足(ΔA) ∩ (ΔB) ∅的序列对，证明了此类构造可无限进行。最后指出多项式增长序列的存在性问

本文研究了有限域上阶为 $p^k + 1$ 的Jacobsthal和的估计，给出了其绝对值的上界，并结合Hasse定理分析了相关椭圆曲线的有理点数。进一步，探讨了特定函数 $f(x)$ 的指数和及其在零点的Walsh变换系数，揭示了其与多项式在循环子群中零点个数的关系。针对不同参数条件，分别讨论了 $a^{p^k(p^k + 1)} \neq b^{p^k + 1}$ 和 $a^{p^k(p^k + 1)} b^{p^k + 1}$ 且 $a^2 \neq bd$ 时的情形，得出了零点个数的精确表达式及相

本文系统研究了几乎p元完美序列的存在性、p元函数的指数和性质以及有限域中的分圆数计算。通过分析不同参数下完美与几乎完美序列的存在状态，探讨了其与数论定理之间的关联。针对p元函数$f(x) Tr_{4k}(ax^d + bx^2)$，研究了其在特殊和一般情况下的沃尔什变换与指数和分布，并揭示了其与雅各布塔尔和的深刻联系。同时，给出了阶为$p^k + 1$的分圆数的明确计算公式及其证明过程。研究表明，这些理论在编码理论、密码学和组合设计中具有重要应用价值。然而，雅各布塔尔和的值与分布、部分序列的存在性及p元弯

本文系统研究了几乎p元完美序列与几乎p元近完美序列的存在性、构造方法及相关性质。通过引入相对差集、直积差集、群环和特征理论等数学工具，建立了序列与代数结构之间的等价关系，得出了存在性的必要条件，并给出了构造示例。研究还证明了在多种参数条件下序列不存在，特别是在满足素因子自共轭条件或特定周期情况下。针对小周期情形，提出了基于乘数和轨道分析的判断方法。对于类型II的几乎p元近完美序列，目前仅有一个已知例子，其存在性仍是未决问题。研究成果在通信、密码学和信号处理等领域具有潜在应用价值。未来的研究方向包括解决未决问

本文系统研究了从几乎完美到完美序列的多种构造方法及其特性，涵盖多相序列、AP序列、OP序列及几乎p元序列的生成与性质。通过定理推导和示例分析，展示了基于数组移位、循环拼接与多重混合的构造技术，并结合差集理论揭示了序列的数学本质。文中还介绍了完美序列在通信、雷达等领域的应用潜力，提出了优化构造与拓展应用的未来研究方向。

本文研究了在数字通信和雷达工程中具有重要应用的几乎完美（AP）、奇完美（OP）和完美多相及几乎多相序列的构造方法。基于Frank和Milewski序列，提出了一系列新的AP和OP序列构造方案，并结合迹函数、指数函数和偶数-奇数变换（EOT）等数学工具进行理论推导。同时，利用m序列的移位序列与已知AP/完美序列组合，构建出多种长度和相位字母表大小可调的新型序列。文中还给出了具体构造示例和总结表格，展示了所构造序列的良好周期性自相关特性和最小相位字母表优势，为实际系统设计提供了丰富的序列资源。

本文研究了布尔动力系统的同步特性，提出了同步序列、有限时间同步和统计同步等概念，并通过主从耦合系统模型深入分析了自同步机制。利用沃尔什变换对迭代函数进行频谱表示，揭示了下一状态函数的频谱特征与同步行为之间的关系。重新定义了单个及一组变量的影响，并扩展至向量布尔函数，建立了变量影响与系统自同步性的联系。通过学术示例展示了如何构造具有统计自同步特性的函数，进一步结合流密码应用说明其在密码学中的实际价值。最后对系统性能进行了分析，并展望了未来在复杂结构、优化设计及跨领域应用等方面的研究方向。

本文深入研究了负哈达玛变换、弯曲与负弯曲函数的性质及其在布尔动力系统同步中的应用。探讨了负弯曲函数与仿射函数的关系、函数分解特性、互补负自相关以及Maiorana-McFarland类中的弯曲-负弯曲函数。在布尔动力系统方面，从谱分析角度出发，引入变量影响概念，推导出自同步的谱条件，提出自同步序列的概念，并展示了其在自同步流密码等密码学领域的潜在应用。研究成果为布尔函数理论与动力系统同步机制提供了新的视角和方法。

本文研究了二进制字符串分布与Nega–Hadamard变换的理论及其应用。在二进制字符串分布方面，探讨了迭代处理、变量组合、单块与多块情况下的概率分布特性，并分析了渐近行为与极值情况；在Nega–Hadamard变换方面，介绍了其定义、基本性质、可逆性、组合函数变换形式以及negabent函数的判定方法。研究成果在密码学和编码理论中具有重要应用价值，未来可拓展至高维空间分析与其他数学结构的结合研究。

本文研究了两个密码学中的重要问题：一是F_2^n上离散对数函数线性组合的非线性下界，通过扩展已有方法推导出新下界，并通过数值实验分析其性能；二是关于二进制字符串分布的组合猜想（Tu-Deng型），该猜想关系到一类具有良好密码学性质布尔函数的存在性。研究采用块划分与进位分析方法，证明了猜想在渐近情况下的成立性，并给出特定情况下|S_{t,k}|的精确公式及达到边界的一类特殊数。两项工作分别在S盒设计和流密码布尔函数构造中具有重要意义，为后续密码学结构的设计与分析提供了理论基础与新思路。

本文研究了有限域F₂ⁿ中离散对数函数的非线性性质，通过扩展特征和方法推导了其坐标线性组合的沃尔什变换上界，并给出了非线性的下界估计。文章分析了离散对数函数与Feng-Liao-Yang S盒的关系，指出当前下界估计在高输出维度下的局限性，并基于小维度计算结果推测更优的上界形式。最后探讨了改进现有下界的可能方向，包括优化Cochrane上界、直接估计关键和式及深入研究特征和性质，为对称密钥密码学中S盒的设计与分析提供了新思路。

本文深入剖析了表格（Table）在信息展示与数据处理中的重要作用。从基本概念、创建流程到高级应用如嵌套表格和动态表格，全面介绍了表格的使用方法。同时探讨了表格的优化策略，包括数据筛选、排序、合并单元格和条件格式，并展示了其在医疗、教育、金融等行业的实际应用案例。通过Markdown和HTML示例代码，帮助读者更好地理解和应用表格工具，提升数据处理效率与可视化效果。

本文深入探讨了短序列的随机性测试评估及其在随机与帧数据中搜索预定义序列的统计方法。通过分析多种分组密码和哈希函数在不同轮数下的测试指标，揭示其随机性特征；引入交叉双前缀与后缀概率概念，推导出在无限随机数据流及帧结构中首次出现目标序列的概率模型，并结合理论分布与实际示例说明搜索过程的数学基础与应用流程。研究还比较了不同类型序列在帧同步中的性能差异，为通信与密码学中的序列设计与检测提供了理论支持与优化方向。

本文针对长度在128到256位之间的短序列，提出了一种改进的随机性测试结果评估方法。传统NIST方法因依赖渐近分布而不适用于短序列，导致误判。为此，文章通过计算各测试中p值在子区间的实际概率，构建基于精确分布的χ²拟合优度检验，提升了评估准确性。该方法在频率、块内频率、游程、近似熵等测试中得到应用，并成功用于评估AES候选算法（如Rijndael、Serpent）和哈希函数（如SHA-1、SHA-256、MD4组件）的随机性表现。实验结果显示，所提方法能正确识别真正随机的数据，而NIST原方法则错误地将其判

本文介绍了一种基于欧几里得加法链（EAC）的公钥密码系统和基于差分平衡函数构建的最优认证码。公钥密码系统通过Genparam、Encrypt和Decrypt等算法实现高效加解密，具有O(n²)的计算复杂度，优于RSA，在传输速率上仍有提升空间。认证码分为两类，兼具安全性与参数灵活性，适用于不同场景。文章分析了系统安全性、性能表现，并给出了应用建议，为信息安全提供了新思路。未来研究方向包括提升传输效率、增强安全性和拓展应用场景。

本文探讨了四元密码函数与基于欧几里得加法链的公钥密码系统。四元密码函数通过构造具有平衡性和高非线性度的函数，并结合格雷映射生成高非线性度的布尔函数，为密码设计提供新思路。另一方面，基于欧几里得加法链（EAC）的公钥密码系统利用EAC的数学特性与陷门机制，构建安全的加密方案。文章分析了系统的密钥生成、加密解密流程、安全性及性能，并给出示例说明。尽管该系统在加密效率上存在挑战，但其理论创新为密码学发展提供了新的方向。未来研究将聚焦于优化性能与拓展实际应用。

本文研究了基于Z4的四元密码函数的非线性特性，提出了一类通过Galois环和分圆类构造的平衡且高非线性的四元函数。文章首先介绍了布尔函数的基础概念及其密码学性质，继而引入四元工具、平衡性与非线性在Hamming和Lee度量下的定义，并探讨了四元Bent函数的性质。利用Galois环GR(4,m)和分圆类结构，构建了一类具有优良密码学特性的四元函数，并通过Gray映射将其转换为高非线性平衡布尔函数。此外，文中还给出了具体构造方法、非线性上下界分析及实验验证结果，展示了该类函数在流密码和分组密码中的应用潜力。

本文探讨了Björck序列的傅里叶对偶性质及其在通信与雷达中的应用，重点分析了素数长度下Björck序列在模4同余1和3时的自对偶与缩放对偶特性。同时，研究了完全非循环（CNC）Hadamard矩阵的多种构造方法，包括基于翻转算子、Kronecker积以及结合2级自相关序列的方法，并揭示了其与低相关区（LCZ）信号集构造之间的等价关系。这些理论成果为CDMA系统中高性能信号设计提供了重要支撑。

本文深入探讨了时钟控制FCSR序列与向量概念FCSR（VFCSR）在密码学中的应用。基于FCSR的停走生成器通过控制寄存器和生成寄存器的协同工作，产生具有高线性复杂度和优良2-进复杂度的安全序列，适用于高安全性需求场景。而VFCSR通过引入有限域上的向量结构，简化了FCSR在非二元域上的实现与分析，提升了在资源受限环境下的适用性。文章对比了两种方法在周期、复杂度等方面的性能，并展望了未来在复杂度优化、抗攻击能力提升及理论完善与应用拓展方面的研究方向。

本文研究了布尔函数的算术沃尔什变换及其相关序列性质，介绍了其在唯一确定性、期望变换和线性函数中的表现，并深入探讨了基于FCSR的停-走时钟控制生成器。该生成器结合FCSR的大线性复杂度与非线性时钟控制机制，输出序列具有大周期、高线性复杂度和几乎最优的2-进复杂度，适用于安全密钥流生成。文章还分析了分圆多项式在序列特征多项式构造中的作用，并展望了其在密码学中的应用前景与未来研究方向。

本文深入探讨了勒让德序列与m序列在渐近优值因子和附加效果方面的比较，揭示了两者在不同旋转和截断参数下的性能差异。同时，文章系统介绍了带进位沃尔什变换的定义、性质及其与传统沃尔什变换的区别，证明了该变换下布尔函数的唯一可确定性，并给出了相应的理论推导与计算流程。研究展示了带进位沃尔什变换在密码分析中的潜在应用价值，为后续高效算法设计与实际系统应用提供了理论基础。

本文研究了通过附加操作提升m序列的优值因子，首次证明了对于足够大的n，存在长度为n的m序列在适当旋转和截断后，其附加序列的优值因子可超过3.34。基于理论推导与数值计算，提出了关于截断m序列渐近行为的猜想9，并提供了有力证据。研究还揭示了附加操作在m序列与勒让德序列中的相似影响，展示了其在通信与密码学领域的应用潜力。未来工作包括严格证明猜想、拓展至其他序列家族及实际系统验证。

本文研究了计数器依赖的非线性同余伪随机数生成器的乘法特征和及其在序列分布特性中的应用，同时深入探讨了模18的三元克洛斯特曼和的取值规律。通过理论分析与定理推导，揭示了这些数学对象在密码学中的重要意义，包括伪随机数质量评估、密钥生成与密码分析等方面的应用，并提出了进一步研究的方向。

本文探讨了不可约二元多项式变换与32维幂置换的傅里叶分析。通过构造不可约交替多项式的无限序列，研究了ψ变换及其等价形式对多项式结构的影响，并利用六边形构造揭示了多项式之间的代数关系。在幂置换方面，重点分析了具有三值谱的x^d映射在有限域上的性质，验证了Helleseth猜想在m32时的成立情况。结合引理与数值计算，通过模15同余条件筛选候选指数，显著减少了计算复杂度，最终确认在等价意义下仅有少数候选可能违背猜想，为高维密码学分析提供了理论支持。

本文研究了在有限域F_2上不可约二元多项式在S_3群作用下的结构与变换，该群同构于GL_2(F_2)和PGL_2(F_2)，通过加法变换P(X+1)和互反变换X^{deg P}P(1/X)生成。文章定义了多项式的六边形轨道，并分类了退化情况，包括1、2、3、6元素轨道。重点分析了自互反、周期、中位数和交替多项式四类不变多项式，提出了φ_p、φ_m、φ_r等二次变换和ψ三次变换，建立了低次不可约多项式到高次不变类的构造方法。利用迹和系数条件，给出了变换后多项式不可约性的判据，并构造了无限序列。结果揭示了不可约

本文系统解析了周期序列的k-误差线性复杂度计算方法，基于离散傅里叶变换（DFT）和Blahut定理，介绍了在有限域上构建相关算法的理论基础。文章详细阐述了kDFT及其多种近似算法，包括kDFT-Approximation-BaseField和AllShifts变体，重点分析了如何通过分圆陪集、共轭元素和子域约束生成最优误差序列，并给出了各算法的流程、复杂度分析与应用场景。这些方法在密码学中具有重要意义，可用于评估序列密码的稳定性和安全性。

本文研究了q元素数n-平方序列的自相关与线性复杂度特性，推导了相应的计算公式，并提出一种改进的近似算法用于计算序列的k-误差线性复杂度。该算法通过引入共轭约束条件确保误差序列在原始域中，结合循环移位扩大搜索空间，提升了计算精度和适用性。研究成果在密码学、通信系统等领域具有重要应用价值，实验结果验证了算法的有效性和性能优势。未来工作将聚焦于算法优化、新序列分析及跨领域应用拓展。

本文深入探讨了密码学中伪随机序列的线性复杂度与自相关性，重点分析了基于陪集的pq周期序列、广义二素数生成器以及q元素数n-平方序列的构造与特性。通过定理和引理推导，给出了不同条件下序列的线性复杂度表达式和自相关函数，并总结了各类序列在平衡性、线性复杂度和自相关性方面的表现。结合实际应用需求，提出了序列选择策略，并展望了未来在参数优化与新序列构造方面的研究方向。

本文介绍了一种基于陪集构造N周期序列并确定其线性复杂度的通用方法，适用于密码学和通信领域的序列设计。通过定义模N可逆元群的子群及其陪集，构建在有限域上的周期序列，并利用分圆类、莫比乌斯函数和本原根等数学工具分析序列的代数性质。文章详细阐述了两种广义序列构造方法——构造1（广义双质数生成器）和构造2（基于不同阶分圆类的组合），并在不同条件下推导出相应的线性复杂度公式。特别地，针对F8上的序列给出了更精细的结果，考虑了质数p模4的同余性质对线性复杂度的影响。结合引理、命题与定理，提供了系统化的分析框架，并通过表

本文综述了低相关区（LCZ）序列在准同步码分多址（QS-CDMA）系统中的应用与发展。针对传统CDMA系统中多址干扰（MAI）严重的问题，LCZ序列因其在原点附近具有低相关性的特点，成为提升系统性能的关键技术。文章回顾了LCZ序列的研究进展，包括多种构造方法及其在不同元域中的扩展，并分析了其在减少干扰、提高系统容量和适应特定通信环境方面的优势。同时，总结了LCZ序列在MIMO系统、新型无线通信标准及物联网中的广阔应用前景，展现了其在未来无线通信发展中的重要地位。

本文综述了递归非线性伪随机数生成器的最新研究成果，涵盖了Dickson多项式生成器、Rédei函数生成器等主要类型，并介绍了基于多元多项式系统的向量序列构造方法。文章重点分析了各类生成器的线性复杂度界、加法与乘法特征和估计、周期性质以及格测试表现，对比了不同生成器在安全性与随机性方面的性能差异。最后，结合理论结果提出了在不同应用场景下选择合适生成器的建议，为密码学与模拟应用中的伪随机数生成提供了理论支持与实践指导。

本文综述了递归非线性伪随机数生成器的最新研究成果，重点探讨了其在有限域上的序列性质及其在准蒙特卡罗方法与密码学中的应用。研究内容涵盖加法特征和的上界分析、线性复杂度的下界证明、格测试对分布质量的评估，以及乘法特征和在幂与本原元分布研究中的作用。针对一般生成器和特殊类型（如小p-权重次数生成器、逆生成器、幂生成器和迪克森多项式生成器），给出了相应的理论界和改进结果。最后总结了当前进展并展望了未来研究方向，包括优化特征和界、结合具体应用场景及引入新数学工具进行深入分析。

本文综述了序列及其相关领域的研究进展，涵盖低相关区序列、递归非线性伪随机数生成器、跳频技术、多址系统中的序列应用，以及线性复杂度、有限域和字符和的理论与技术应用。文章从算法构造、性能分析到实际应用场景进行了系统梳理，并通过mermaid流程图展示了各研究方向之间的逻辑关系，为序列在通信与密码学等领域的发展提供了理论支持和技术参考。

本文研究了新型最优可变权重光正交码（OOC）的构建方法与特性，基于Singer差集和成对平衡设计（PBD）构造循环差族，并通过PBD分解基块生成新的差族结构。针对特定形式的质数v 42t+1、54t+1和84t+1，在v ≤ 5000且满足条件的情况下，证明了多种最优可变权重OOC的存在性。文章提出了利用引理、定理及推论构建循环差族的方法，并结合(7,3,1)-BIBD等具体设计进行块分解，拓展了OOC的构造路径。最后总结了现有成果并展望未来在光通信系统中的应用潜力与理论扩展方向。

本文介绍了两种循环差分族的构造方法：循环 (v, {4, u}, 1, {1/2, 1/2}) - DFs 和循环 (v, {4, 6, 7}, 1, {1/3, 1/3, 1/3}) - DFs。基于有限域GF(v)中的本原元和本原三次单位根，通过定义特定集合并验证其差分覆盖所有非零元素，构造出满足条件的循环差分族。结合定理、推论与计算机辅助搜索，给出了具体实例与参数对比，并分析了两类构造的适用场景。最后展望了算法优化、应用拓展及新类型差分族的研究方向。

本文研究了新型最优变权重光正交码（OOCs）的构造方法，重点分析了循环（v, W, 1, Q）-差族的基本性质与存在条件。通过引入循环差族的代数结构与有限域上的陪集分解，提出了多个关于特定参数下最优OOCs存在的定理，如针对W{4,6}、{4,7}和{4,6,7}的情形，并结合计算机辅助验证构造实例。文中还比较了不同构造方法的效率，展示了定理4在减少计算复杂度方面的优势。最终，这些结果被用于生成2 ≤ |W| ≤ 4的新型最优变权重光正交码，为光通信系统中的编码设计提供了理论支持与应用前景。

本文研究了用户不可抑制序列与新型最优变权重光正交码的构造理论与应用。在用户不可抑制序列方面，介绍了CRTp构造方法、基于博弈视角的阻塞算法，并推导出周期下界L_min(M) ≥ ⌈8M²/9⌉，通过整数序列分析和定理验证了序列的不可抑制性。对于变权重光正交码，提出了基于循环差族的构造方法，针对特定素数模条件构建了具有不同权重分布的最优OOC，并结合组合设计理论建立了其与成对平衡设计的关系。文章进一步分析了两类序列的联系与性能差异，探讨了其在无线通信与光CDMA系统中的应用前景，最后指出未来研究方向包括缩小周

本文系统介绍了分组多址传输系统中的用户不可抑制序列（UI Sequences）的原理、构造方法与应用。在无反馈和分布式环境下，UI序列确保每个用户在任意相对延迟偏移下都能周期性地成功发送至少一个数据包，从而实现有界延迟通信。文章回顾了移位不变序列（SIS）、扩展素数序列（EPS）和CRT序列等经典构造方法，并提出一种基于中国剩余定理（CRTp）的新构造方法，适用于素数个用户，具有更短的序列周期。通过引理与定理证明了新构造的UI性质，并给出了验证流程的mermaid图示。此外，讨论了Lmin(M)下限的计算方