27、周期序列的 k-误差线性复杂度计算方法解析

周期序列的 k-误差线性复杂度计算方法解析

1. 基本概念与性质

• 序列移位与离散傅里叶变换（DFT） ：设 (s) 是周期为 (N) 的序列，(s^{(h)}) 表示将 (s) 的所有周期向右循环移动 (h) 个位置得到的周期无限序列，即 (s^{(h)}_{i + h}=s_i)（(0\leq i < N)，索引取模 (N)）。若 (S = DFT(s)) 且 (S’ = DFT(s^{(h)}))，则 (S’_i=\alpha^{hi}S_i)（(0\leq i < N)）。
• Blahut 定理 ：周期为 (N) 的序列 (s=(s_0,s_1,\cdots,s_{N - 1})) 的线性复杂度等于 (DFT(s)) 的汉明重量；反之，周期序列 (S=(S_0,S_1,\cdots,S_{N - 1})) 的线性复杂度等于 (DFT^{-1}(S)) 的汉明重量。
• 有限域相关概念 ：设 (K = GF(p^m)) 是 (p^m) 个元素的伽罗瓦域。当 (N) 不能被 (p) 整除时，包含 (N) 次本原单位根的 (K) 的最小扩域 (F = GF(p^r))，其中 (r) 是 (m) 的最小倍数，满足 (N|p^r - 1)。
  • 分圆陪集 ：(j) 模 (p^r - 1) 关于 (p^m) 幂的分圆陪集 (C_j={j,jp^m,jp^{2m},\cdots,jp^{(\frac{r}{m}-1)m}})（所有整数取模 (p^r - 1)）。更一般地，对于 (p^