35、信号序列相关研究：Björck序列与完全非循环Hadamard矩阵

信号序列相关研究：Björck序列与完全非循环Hadamard矩阵

1. Björck序列及其傅里叶对偶

在通信和雷达领域，恒定幅度零（周期）自相关（CAZAC）多相序列有着广泛应用。Björck序列作为CAZAC序列的一个不太知名的家族，其傅里叶对偶的性质引起了研究兴趣。

1.1 基本定义

• 周期互相关与自相关 ：对于两个序列 ${x(k)}$ 和 ${y(k)}$，$k = 0, 1, \cdots, N - 1$，周期互相关 $R_{xy}(p)$ 定义为 $R_{xy}(p) = \sum_{k = 0}^{N - 1} x^ (k)y(k + p)$，其中 $p = 0, 1, \cdots, N - 1$ 是循环延迟，$ $ 表示复共轭。当 ${y(k)} = {x(k)}$ 时，得到周期自相关 $R_{xx}(p)$。若对于任意 $p \not\equiv 0 \pmod{N}$，$R_{xx}(p) = 0$，则称 $R_{xx}(p)$ 是理想的。具有理想周期自相关且幅度恒定的序列称为CAZAC序列。
• 离散傅里叶变换（DFT） ：序列 ${x(k)}$ 的DFT ${X(n)}$ 定义为 $X(n) = \sum_{k = 0}^{N - 1} x(k)W_N^{nk}$，其中 $W_N = e^{-j2\pi/N}$，$j = \sqrt{-1}$，$N$ 是任意正整数。序列 ${x(k)}$ 的傅里叶对偶是其DFT序列 ${X(n)}$ 除以 $\sqrt{N}$。
• Björck序