51、序列、Bent函数与Jacobsthal和的研究

序列、Bent函数与Jacobsthal和的研究

1. 阶为 $p^k + 1$ 的Jacobsthal和的估计

对于任意 $a \in GF(q)^ $，定义阶为 $n$ 的Jacobsthal和为：
$H_n(a) = \sum_{x\in GF(q)}\eta(x^{n + 1} + ax)$
其中 $\eta(\cdot)$ 是 $GF(q)$ 的二次特征，且 $\eta(0) = 0$。同时定义伴随和：
$I_n(a) = \sum_{x\in GF(q)^ }\eta(x^n + a)$
已知 $I_{2n}(a) = I_n(a) + H_n(a)$。当 $q = p^{2k}$ 且 $n = p^k + 1$ 时：
- 若 $a \in GF(p^k)$，则 $I_{p^k + 1}(a) = I_{2(p^k + 1)}(a) = p^{2k} - 1$ 且 $H_{p^k + 1}(a) = 0$。
- 若 $a \in GF(p^{2k}) \setminus GF(p^k)$ 且 $a^{-1} \in C_i$（$i \neq 0$，因为 $C_0 = GF(p^k)^ $），可计算 $I_{p^k + 1}(a)$：
$I_{p^k + 1}(a) = \eta(a)\sum_{x\in GF(p^{2k})^ }\eta(\frac{x^{p^k + 1}}{a} + 1)$
$= (-1)^{i(p^k + 1)}\left(\sum_{j = 0}^{(p^k - 1)/2}(i, 2j) - \sum_{j = 0}^{(p^k - 1)/2}(i, 2j +