28、不可约二元多项式的变换

不可约二元多项式的变换

1. 引言

在对不可约二元多项式的研究中，我们关注 6 元素群 $S_3 \simeq GL_2(F_2) \simeq PGL_2(F_2)$ 在集合 $I = {P \in F_2[X]| P \text{ 不可约}} \setminus {X, X + 1}$ 上的自然作用。这个作用由两个操作定义：
- $P^+(X) = P(X + 1)$
- $P^*(X) = X^{\deg P} P(\frac{1}{X})$

$S_3$ 中其他元素的作用可通过这两个操作的组合得到，例如 $P^{ +}$ 表示 $(P^ )^+$。

定义 1：$P \in I$ 的六边形是 $P$ 的轨道，记为 $Hex(P) = {P^\sigma|\sigma \in S_3}$。六边形的度数是其多项式的度数。当 $Card(Hex(P)) < 6$ 时，称该六边形是退化的。

根据 $P$ 的各向同性子群，这样的轨道有 1、2、3 或 6 个元素。在 $S_3$ 中，除了平凡子群，有 3 个 2 阶子群和 1 个 3 阶子群，每个子群都会产生一族不变的不可约多项式。1 元素六边形的情况很简单，$I(2) = {X^2 + X + 1}$ 是唯一的 1 元素退化六边形，这个多项式是该作用的唯一不动点。

对于任意整数 $n > 1$，定义 $I(n) = {P \in I| \deg P = n}$，则 $I$ 的这种分级在该作用下是稳定的（但 $n = 1$ 时不成立）。

2. 自互反性与 3 元素退化六边形

自互反多项式在一个 2 阶