36、Z4 - 构造四元密码函数类的非线性研究

Z4 - 构造四元密码函数类的非线性研究

1. 引言

在流密码和分组密码的伪随机生成器中，长度为 n 的布尔（{0, 1} 值）函数对其安全性起着至关重要的作用。这些函数通常在二元有限域 (F_2) 上进行研究。然而，寻找具有最优密码学特性（如平衡性和高非线性）的布尔函数仍然是一个开放性问题。

本文将目光投向四元（{0, 1, 2, 3} 值）密码函数。研究四元对象和结构的兴趣推动了这项工作的开展。在 (Z_4) 中常用的度量是 Lee 度量，借助 Gray 映射，它能实现从 ((Z_4^m, Lee 距离)) 到 ((F_2^{2m}, Hamming 距离)) 的等距变换。

我们将从精确定义和刻画长度为 m 的四元密码函数入手，然后依据 Hamming 度量和 Lee 度量，正式描述 (Z_4) 上的平衡性和非线性。四元 Bent 函数（或更一般的 q 元 Bent 函数）通过 Walsh 变换来定义。对于 m 变量的四元 Bent 函数，我们将证明其在 Hamming 度量下的最大非线性有界，并给出在 Lee 度量下的最大非线性的确切值。此外，还将详细介绍一种基于 Galois 环的通用构造方法，以获得一类平衡且具有高非线性的四元密码函数。最后，利用 Gray 映射将这些构造的四元函数转换为具有高非线性的平衡布尔函数。

为避免混淆，n 变量的布尔函数用 f 表示，m 变量的四元函数用 F 表示。

2. 布尔函数基础

2.1 基本定义

设 n 为自然数，(F_2^n) 是有限域 (F_2 = {0, 1}) 中所有 n 元组的集合，其加法用 ⊕ 表示。n 变量的布尔函数 f 是从 (F_2