54、Reed Muller 传感矩阵与 LASSO 算法

Reed Muller 传感矩阵与 LASSO 算法

1. DG 矩阵的谱范数

对于传感矩阵，如果最坏情况下的相干性和谱范数足够小，那么 ℓ0 最小化问题就有唯一解，且该解与凸 LASSO 程序的解一致。初始 DG(m, r) 框架的最坏情况相干性 μ 满足：μ ≤ N r (m - 1) / 2。为确保每行元素之和为零，我们从 DG 筛中排除由 2 的幂次索引的 m + 1 行，这最多使最坏情况相干性改变 (m + 1) / N。此时，μ ≤ N r (m - 1) / 2 + (m + 1) / N。

以下是 DG(m, 1) 框架和 DG(m, 1) 筛的谱范数随 m 的变化情况：
| DG(m, 1) | m = 3 | m = 5 | m = 7 | m = 9 |
| — | — | — | — | — |
| 框架 | 2.8284 | 5.6569 | 11.3137 | 22.6274 |
| 筛 | 5.6568 | 11.1295 | 25.0386 | 55.0338 |

从表格中可以看出，筛的谱范数几乎是对应框架的两倍，原因是存在少量重复行。移除这些重复行可得到一个非正交基并集的等角紧框架。

下面介绍如何找到这些重复行。设 x, y 是有限域 F₂ᵐ 中的两个不同元素，ϕ(x), ϕ(y) 表示 Delsarte - Goethals 筛 Φ 中由 x 和 y 索引的两行。令 y = x + e，可得：
[
\phi(x)^{\dagger} \phi(y) = \frac{1}{N} \sum_{P \in DG(m,r)} i^{(x + e)P(x + e)^{\top