44、二进制字符串分布与Nega–Hadamard变换研究

二进制字符串分布与Nega–Hadamard变换研究

1 二进制字符串分布相关研究

1.1 迭代处理与相关命题

在处理二进制字符串相关问题时，考虑特定条件较为复杂，采用迭代的方式进行处理。首先关注满足 (r(a, t) = k) 的 (a)，也就是那些在 (t) 的 0 前面只有 1 的情况。
- 若对于所有 (i)，(\delta_i = \beta_i)，则 (\delta_i’’ = \delta_i) 且 (\gamma_i’’ = \gamma_i’ = 0)。
- 假设存在 (i_0) 使得 (\delta_{i_0} \neq \beta_{i_0})，先定义 (\gamma_{i_0}’‘)，接着依次定义 (\delta_{i_0 + 1}’‘)、(\gamma_{i_0 + 1}’‘) 等，最后定义 (\delta_{i_0}’‘)：
- 令 (\gamma_{i_0}’’ = \gamma_{i_0})，(i = i_0 + 1)。
- 执行循环：
- 若 (\gamma_{i - 1} \neq \alpha_{i - 1})，则 (\delta_i’’ = \delta_i)，否则为 0。
- 若 (\delta_i’’ \neq \beta_i)，则 (\gamma_i’’ = \gamma_i)，否则为 0。
- (i = i + 1)，直到 (i \neq i_0 + 1)。

此时，(\gamma_i’‘) 和 (\delta_i’‘) 不再相互独立，甚至在不同块之间也是如此，但 (r(a, t) = \sum_{i = 1}^{d} \alpha_i - \gamma_i’’