31、具有大于3.34优值因子的附加m序列研究

具有大于3.34优值因子的附加m序列研究

1. 引言

在通信和信号处理领域，二进制序列的优值因子是一个至关重要的概念。它不仅在实际应用中，如扩频通信里，关乎信号能量在频率范围内的均匀分布，而且在理论研究，像复分析、统计力学以及理论物理和化学等领域，也有着广泛的应用。

1.1 二进制序列与优值因子

一个长度为 (n) 的二进制序列 (A) 可以表示为 (n) - 元组 ((a_0, a_1, \ldots, a_{n - 1}))，其中每个 (a_j) 取值为 (-1) 或 (1)。其非周期自相关函数 (C_A(u)) 定义为：
[C_A(u) := \sum_{j = 0}^{n - u - 1} a_j a_{j + u}, \quad u = 0, 1, \ldots, n - 1]
当 (n \geq 2) 时，优值因子 (F(A)) 定义为：
[F(A) := \frac{n^2}{2\sum_{u = 1}^{n - 1} [C_A(u)]^2}]

1.2 已知的二进制序列家族

目前，已知渐近优值因子的非平凡无限二进制序列家族包括勒让德序列、m序列、鲁丁 - 夏皮罗序列以及这三个家族的一些推广。其中，旋转勒让德序列的渐近优值因子最大，达到了 6。

1.3 研究动机与目标

虽然有大量数值证据表明可以实现大于 6 的渐近优值因子，但尚未得到严格证明。本文将序列附加的思想应用于 m 序列，首次证明了通过附加操作可以提高二进制序列家族的渐近优值因子。已知所有 m 序列的渐近优值因子为 3，我们将证明对于足够大的 (n)，存在长度为 (n) 的 m 序列的某个