26、序列自相关与线性复杂度相关研究

序列自相关与线性复杂度相关研究

在序列分析领域，自相关和线性复杂度是两个重要的研究方向。本文将围绕q元素数n - 平方序列的自相关和线性复杂度展开探讨，同时介绍一种改进的近似算法用于计算序列的k - 误差线性复杂度。

1. q元素数n - 平方序列的自相关

设$p = qf + 1$，其中$q$为素数，$F_{q^m}$是具有$q^m$个元素的有限域。对于自相关的计算，有如下定义和推导：
- 相关变量定义 ：当$f$为偶数时，$v = 0$；否则，$v = \frac{q}{2}$。设$\tau’ = p^{n - 1} \cdot (b \bmod p)$，$\Delta = {p^{n - k}c : c \in D(q, p^k) {a + v(\bmod q)} \text{ 且 } c \equiv -b(\bmod p)}$。
- 自相关公式推导 ：
- 首先得到$A(\tau)$的表达式：
[
A(\tau) = p^{k - 1} \left[ \sum {r = 0}^{q - 1} \sum_{t \in p^{n - 1}D(q, p) r, t \neq -\tau’} w^{s(t) - s(t + \tau’)} \right] + \sum {t \in \Delta} w^{s(t) - s(t + \tau)}
]
- 经过一系列推导（利用$c + b \equiv 0(\bmod p)$等条件），可将其进一步化简为：
[
A(\tau) = p^{k - 1