FFT在字符串匹配中的应用

对于一类字符串匹配问题：

给定长度分别为 $m,n$ 的字符串 $A,B$，给出两个相同长度的字符串匹配的定义，要求找出 $A$ 在 $B$ 中所有匹配的位置。

可能能用如下方式解决：

定义匹配函数 $C(a,b)$，使得完全匹配函数 $P(i)={\sum }_{j=0}^{m-1}C(A_j,B_{i+j})$ 等于 $0$ 当且仅当 $A$ 和 $B[i..i+m-1]$ 匹配。

然后，我们将 $C(a,b)$ 拆成若干个有关 $a,b$ 的乘积，即 $C(a,b)={\sum }_{k=1}^K{f}_k(a)g_k(b)$。然后我们对每个 $k$ 计算它对 $P(i)$ 的贡献，即计算 $P_k(i)={\sum }_{j=0}^{m-1}{f}_k(A_j)g_k(B_{i+j})$。这是减法卷积，可以优化至 $O(n\log n)$。

总时间复杂度 $O(Kn\log n)$，一般来说 $K$ 是常数。

举几个例子吧：

• 一般的字符串匹配问题。

  一个想法是设 $C(a,b)=a-b$，但这只对单个字符生效，对 $P(i)$ 是不一定生效的，比如 $\text{"ab"}$ 和 $\text{"ba"}$。

  正确的做法应该是设 $C(a,b)=(a-b{)}^2$，这样两个字符串一旦出现某个位置不同，$P(i)$ 就一定大于 $0$。

• 带通配符 $\text{\#}$ 的字符串匹配问题。

  上一题的扩展，直接设 $C(a,b)=[a\ne \text{\#}][b\ne \text{\#}](a-b{)}^2$ 即可。