【XSY3395】逃亡（概率与期望，组合数）

最新推荐文章于 2022-03-27 19:50:35 发布

ez_lcw

最新推荐文章于 2022-03-27 19:50:35 发布

阅读量186

点赞数

分类专栏： # 概率dp/期望dp # 组合数 # 容斥文章标签：概率论算法

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/ez_lcw/article/details/120638448

版权

容斥同时被 3 个专栏收录

20 篇文章

订阅专栏

概率dp/期望dp

18 篇文章

订阅专栏

组合数

11 篇文章

订阅专栏

首先 “被经过的整点的期望个数” 不好求，我们可以把它看成 “每个整点被经过的概率的和”。

对于某个整点，求 “它被任意一个人经过的概率” 不好求，我们可以求 “它不被任意一个人经过的概率”，那么现在的问题是求某个整点不被某个人经过的概率，或者说求某个整点被某个人经过的概率。

把这个人看作原点，然后设这个整点的坐标为 $i$ （不妨设 $i\geq 0$ ， $i < 0$ 同理）。考虑转化到坐标-时间图像上，现在问题转化为：从原点开始走，每一步能往右上/右下走，求走 $n$ 步，过程中碰到直线 $y = i$ 的走法方案数，最后除个 $2^n$ 即为概率。

在这里插入图片描述

（本文所有图片均引用自题解的 PPT）

类似卡特兰数，我们考虑翻折：对于一条碰到 $y = i$ 且终点 $j < i$ 的折线，我们找到它第一次碰到 $y = i$ 的位置，并把这条折线在这个位置之后的所有部分都沿 $y = i$ 做翻折，那么就得到了一条终点在 $j^{'} > i$ 的折线：

在这里插入图片描述

而且显然任意一条终点在 $j^{'} > i$ 的折线，都唯一对应着一条终点在 $j^{'}$ 的折线（它自己），以及一条终点在 $j$ 的折线（上述翻折过程的逆过程得到的折线）。

那么如果设 $E (i)$ 表示终点在 $i$ 的走法方案数，那么碰到直线 $y = i$ 的走法方案数即为：
$E(i)+2\sum_{j>i} E(j)$
$E (i)$ 也比较好求：容易得到终点在 $i$ 需要向上走 $\frac{n+i}{2}$ 步，于是 $E(i)=[n\equiv i\pmod 2]\dbinom{n}{\frac{n+i}{2}}$ 。

那么我们直接枚举每一个可能经过的整点（ $O (n m)$ 个），再对枚举的整点枚举每一个人，时间复杂度 $O(nm^2)$ 。

#include<bits/stdc++.h>

#define M 25
#define N 12000010
#define fi first
#define se second
#define pii pair<int,int>
#define mk(a,b) make_pair(a,b)
#define INF 0x7fffffff

using namespace std;

namespace modular
{
	const int mod=998244353;
	inline int add(int x,int y){return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
	inline int dec(int x,int y){return x-y<0?x-y+mod:x-y;}
	inline int mul(int x,int y){return 1ll*x*y%mod;}
}using namespace modular;

inline int poww(int a,int b)
{
	int ans=1;
	while(b)
	{
		if(b&1) ans=mul(ans,a);
		a=mul(a,a);
		b>>=1;
	}
	return ans;
}

inline int read()
{
	int x=0,f=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9')
	{
		if(ch=='-') f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9')
	{
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^'0');
		ch=getchar();
	}
	return x*f;
}

int n,m,x[M];
int fac[N],ifac[N],E[N];

vector<pii>part;

int C(int n,int m)
{
	return mul(mul(fac[n],ifac[m]),ifac[n-m]);
}

int calc(int now)
{
	int p=1;
	for(int i=1;i<=m;i++)
		if(abs(now-x[i])<=n)
			p=mul(p,dec(1,E[abs(now-x[i])]));
	return dec(1,p);
}

int main()
{
	n=read(),m=read();
	int inv=poww(poww(2,n),mod-2);
	fac[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=mul(fac[i-1],i);
	ifac[n]=poww(fac[n],mod-2);
	for(int i=n;i>=1;i--) ifac[i-1]=mul(ifac[i],i);
	int sum=0;
	for(int i=n;i>=0;i--)
	{
		int nowE=0;
		if(!((i&1)^(n&1))) nowE=mul(inv,C(n,(n+i)/2));
		E[i]=add(nowE,mul(sum,2));
		sum=add(sum,nowE);
	}
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		x[i]=read();
		part.push_back(mk(x[i]-n,x[i]+n));
	}
	sort(part.begin(),part.end());
	int lstr=-INF,ans=0;
	for(pii now:part)
	{
		int l=now.fi,r=now.se;
		l=max(l,lstr+1);
		for(int i=l;i<=r;i++)
			ans=add(ans,calc(i));
		lstr=max(lstr,r);
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}
/*
2 1
1
*/