【XSY3906】数数题（期望，多项式）

题面

数数题

题解

让多项式完全入门、求导积分0基础的来做这个？？?

赶紧看来一波高中选修2-2，才来硬推这道题。

所以说有一些对于巨佬们来说很简单就能推出来的东西，我可能反而会用一些更加复杂的方法。

题目可以看成是对于所有的 $k$ 求出：

$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\underset{\text{每种结果出现的概率}}{\underbrace{\left(\prod _{i=1}^n\frac{1}{\underset{\text{加 1 是因为植树原理}}{\underbrace{\frac{a_i}{\Delta x}+1}}}\right)}}\left(\underset{\text{枚举每个 xi=biΔx}}{\underbrace{\sum _{b_1=0}^{\frac{a_1}{\Delta x}}\sum _{b_2=0}^{\frac{a_2}{\Delta x}}\cdots \sum _{b_n=0}^{\frac{a_n}{\Delta x}}}}{\left(\sum _{i=1}^n{b}_i\Delta x\right)}^k\right)$$

化简一下：

$$\begin{array}{rl}& \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left(\prod _{i=1}^n\frac{1}{\frac{a_i}{\Delta x}+1}\right)\left(\sum _{b_1=0}^{\frac{a_1}{\Delta x}}\sum _{b_2=0}^{\frac{a_2}{\Delta x}}\cdots \sum _{b_n=0}^{\frac{a_n}{\Delta x}}{\left(\sum _{i=1}^n{b}_i\Delta x\right)}^k\right)\\ =& \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\Delta x^n\left(\prod _{i=1}^n\frac{1}{a_i+\Delta x}\right)\left(\sum _{b_1=0}^{\frac{a_1}{\Delta x}}\sum _{b_2=0}^{\frac{a_2}{\Delta x}}\cdots \sum _{b_n=0}^{\frac{a_n}{\Delta x}}{\left(\sum _{i=1}^n{b}_i\Delta x\right)}^k\right)\end{array}$$

将 ${\left(\sum _{i=1}^n{b}_i\right)}^k$ 多项式展开：

$$\begin{array}{rl}=& \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\Delta x^n\left(\prod _{i=1}^n\frac{1}{a_i+\Delta x}\right)\left(\sum _{b_1=0}^{\frac{a_1}{\Delta x}}\sum _{b_2=0}^{\frac{a_2}{\Delta x}}\cdots \sum _{b_n=0}^{\frac{a_n}{\Delta x}}\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{y_1,y_2,\cdots ,y_n\ge 0}{y_1+y_2\cdots +y_n=k}}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{y_1,y_2,\cdots ,y_n}\right)\prod _{i=1}^n(b_i\Delta x{)}^{y_i}\right)\end{array}$$

把 $\prod _{i=1}^n{b}_i^{y_i}$ 拆开，并交换一下求和符号：（这一步可能跳得有点多，但还是不详细阐述，因为自己推一下就可以了）

$$\begin{array}{rl}=& \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\Delta x^n\left(\prod _{i=1}^n\frac{1}{a_i+\Delta x}\right)\left(\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{y_1,y_2,\cdots ,y_n\ge 0}{y_1+y_2\cdots +y_n=k}}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{y_1,y_2,\cdots ,y_n}\right)\left(\sum _{b_1=0}^{\frac{a_1}{\Delta x}}(b_1\Delta x{)}^{y_1}\right)\left(\sum _{b_2=0}^{\frac{a_2}{\Delta x}}(b_2\Delta x{)}^{y_2}\right)\cdots \left(\sum _{b_n=0}^{\frac{a_n}{\Delta x}}(b_n\Delta x{)}^{y_n}\right)\right)\end{array}$$

将最前面的 $\Delta x^n$ 扔进去：

$$\begin{array}{rl}=& \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left(\prod _{i=1}^n\frac{1}{a_i+\Delta x}\right)\left(\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{y_1,y_2,\cdots ,y_n\ge 0}{y_1+y_2\cdots +y_n=k}}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{y_1,y_2,\cdots ,y_n}\right)\left(\sum _{b_1=0}^{\frac{a_1}{\Delta x}}(b_1\Delta x{)}^{y_1}\Delta x\right)\left(\sum _{b_2=0}^{\frac{a_2}{\Delta x}}(b_2\Delta x{)}^{y_2}\Delta x\right)\cdots \left(\sum _{b_n=0}^{\frac{a_n}{\Delta x}}(b_n\Delta x{)}^{y_n}\Delta x\right)\right)\end{array}$$

仔细观察 $\sum _{b_i=0}^{\frac{a_i}{\Delta x}}(b_i\Delta x{)}^{y_i}\Delta x$，根据定积分的定义，发现它就是：

$$\sum _{b_i=0}^{\frac{a_i}{\Delta x}}(b_i\Delta x{)}^{y_i}\Delta x={\int }_0^{a_i}{x}^{y_i}\text{d}x=\frac{a_i^{y_i+1}}{y_i+1}$$

所以原式：

$$\begin{array}{rl}=& \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left(\prod _{i=1}^n\frac{1}{a_i+\Delta x}\right)\left(\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{y_1,y_2,\cdots ,y_n\ge 0}{y_1+y_2\cdots +y_n=k}}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{y_1,y_2,\cdots ,y_n}\right)\prod _{i=1}^n\frac{a_i^{y_i+1}}{y_i+1}\right)\\ =& \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{y_1,y_2,\cdots ,y_n\ge 0}{y_1+y_2\cdots +y_n=k}}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{y_1,y_2,\cdots ,y_n}\right)\prod _{i=1}^n\frac{a_i^{y_i+1}}{y_i+1}\cdot \frac{1}{a_i+\Delta x}\\ =& \sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{y_1,y_2,\cdots ,y_n\ge 0}{y_1+y_2\cdots +y_n=k}}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{y_1,y_2,\cdots ,y_n}\right)\prod _{i=1}^n\frac{a_i^{y_i}}{y_i+1}\end{array}$$

以上就是将题目的要求化成一个跟无限无关的东西的过程。

写到这里才发现我的化简过程很繁琐，应该一开始就直接多项式展开然后再把积分套进去，这样就会简略很多。

将 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{y_1,y_2,\cdots ,y_n}\right)$ 化简：

$$\begin{array}{rl}& \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{y_1,y_2,\cdots ,y_n}\right)\\ =& \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{y_1}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k-y_1}{y_2}\right)\cdots \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k-y_1-y_2-\cdots -y_{n-1}}{y_n}\right)\\ =& \frac{k!}{y_1!(k-y_1)!}\times \frac{(k-y_1)!}{y_2!(k-y_1-y_2)!}\times \cdots \times \frac{(k-y_1-y_2-\cdots -y_{n-1})!}{y_n!(k-y_1-y_2-\cdots -y_n)!}\\ =& \frac{k!}{y_1!y_2!\cdots y_n!}\end{array}$$

代入原式得：

$$\begin{array}{rl}=& \sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{y_1,y_2,\cdots ,y_n\ge 0}{y_1+y_2\cdots +y_n=k}}\frac{k!}{y_1!y_2!\cdots y_n!}\prod _{i=1}^n\frac{a_i^{y_i}}{y_i+1}\\ =& k!\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{y_1,y_2,\cdots ,y_n\ge 0}{y_1+y_2\cdots +y_n=k}}\prod _{i=1}^n\frac{a_i^{y_i}}{(y_i+1)!}\end{array}$$

设 $F(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{(n+1)!}$，则 $\frac{a_i^{y_i}}{(y_i+1)!}=[x^{y_i}]F(a_{i}x)$，原式即为：

$$=k![x^k]\prod _{i=1}^{n}F(a_{i}x)$$

考虑对这个式子先取 $\ln$ 再取 $\exp$（显然式子值不变），得：

$$\begin{array}{rl}=& k![x^k]\exp \left(\ln \left(\prod _{i=1}^{n}F(a_{i}x)\right)\right)\\ =& k![x^k]\exp \left(\sum _{i=1}^n\ln F(a_{i}x)\right)\end{array}$$

设 $G(x)=\ln F(x)$，原式即为：

$$=k![x^k]\exp \left(\sum _{i=1}^{n}G(a_{i}x)\right)$$

也就是说我们需要求出 $\sum _{i=1}^{n}G(a_{i}x)$ 的前 $m$ 项系数。

显然 $G(x)$ 我们是可以直接求出来的，设 $G(x)=\sum _{j=0}^{\infty }{g}_j{x}^j$，那么 $G(a_{i}x)$ 的第 $j$ 项系数为 $g_j{a}_i^j$，那么 $\sum _{i=1}^{n}G(a_{i}x)$ 的第 $j$ 项系数为 $g_j\sum _{i=1}^n{a}_i^j$。

所以我们需要对所有的 $j=1\sim m$，求出 $\sum _{i=1}^n{a}_i^j$。

这是一个很经典的问题，相当于要求出 $\sum _{i=1}^n\frac{1}{1-a_{i}x}$。（原因是 $\frac{1}{1-a_{i}x}$ 第 $j$ 项的系数就是 $a_i^j$，这个自己做大除法模拟多项式求逆验证即可）

至于如何求 $\sum _{i=1}^n\frac{1}{1-a_{i}x}=\frac{1}{1-a_{1}x}+\frac{1}{1-a_{2}x}+\cdots +\frac{1}{1-a_{n}x}$，直接用分治 NTT 解决。

具体来说，假设当前要求 $\sum _{i=l}^r\frac{1}{1-a_{i}x}$，已经知道了 $\frac{A}{B}=\sum _{i=l}^{mid}\frac{1}{1-a_{i}x}$，$\frac{C}{D}=\sum _{i=mid+1}^r\frac{1}{1-a_{i}x}$，那么用 NTT 求出 $\frac{A}{B}+\frac{C}{D}=\frac{AD+BC}{BD}$ 即可。

那么就可以求出 $\sum _{i=1}^{n}G(a_{i}x)$ 的前 $m$ 项系数，那么 $k![x^k]\exp \left(\sum _{i=1}^{n}G(a_{i}x)\right)$ 的前 $m$ 项系数（即答案）也就出来了。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
 
#define LN 19
#define N 100010
#define lc (k<<1)
#define rc (k<<1|1)
#define ll long long
#define mod 998244353
 
using namespace std;
 
int n,m;
int rev[N<<2];
ll fac[N],ifac[N];
ll w[LN][N<<2][2];
ll a[N<<2],f[N<<2],g[N<<2];
ll ff[N<<2],daof[N<<2],invf[N<<2];
ll daog[N<<2],lng[N<<2];
 
ll poww(ll a,ll b)
{
    ll ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans=ans*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1; 
    }
    return ans;
}
 
void init(int limit)
{
    for(int bit=0,mid=1;mid<limit;bit++,mid<<=1)
    {
        int len=mid<<1;
        ll wn=poww(3,(mod-1)/len);
        ll iwn=poww(wn,mod-2);
        ll noww=1,nowiw=1;
        for(int j=0;j<mid;j++,noww=noww*wn%mod,nowiw=nowiw*iwn%mod)
            w[bit][j][0]=noww,w[bit][j][1]=nowiw;
    }
}
 
void NTT(ll *a,int limit,int opt)
{
    opt=(opt<0);
    for(int i=0;i<limit;i++)
        rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)*(limit>>1));
    for(int i=0;i<limit;i++)
        if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
    for(int bit=0,mid=1;mid<limit;bit++,mid<<=1)
    {
        for(int len=mid<<1,i=0;i<limit;i+=len)
        {
            for(int j=0;j<mid;j++)
            {
                ll x=a[i+j],y=w[bit][j][opt]*a[i+mid+j]%mod;
                a[i+j]=(x+y)%mod,a[i+mid+j]=(x-y+mod)%mod;
            }
        }
    }
    if(opt)
    {
        ll div=poww(limit,mod-2);
        for(int i=0;i<limit;i++)
            a[i]=a[i]*div%mod;
    }
}
 
void getinv(ll *f,ll *g,int n)
{
    g[0]=poww(f[0],mod-2);
    int now=2;
    for(;now<(n<<1);now<<=1)
    {
        int limit=now<<1;
        for(int i=0;i<now;i++) ff[i]=f[i];
        NTT(ff,limit,1),NTT(g,limit,1);
        for(int i=0;i<limit;i++) 
            g[i]=(2ll*g[i]%mod-ff[i]*g[i]%mod*g[i]%mod+mod)%mod;
        NTT(g,limit,-1);
        for(int i=now;i<limit;i++) g[i]=0;
    }
    for(int i=0;i<now;i++) ff[i]=0;
    for(int i=n;i<now;i++) g[i]=0;
}
 
void getdao(ll *f,ll *g,int n)
{
    g[n-1]=0;
    for(int i=0;i<n-1;i++)
        g[i]=(i+1)*f[i+1]%mod;
}
 
void getint(ll *f,ll *g,int n)
{
    g[0]=0;
    for(int i=1;i<n;i++)
        g[i]=poww(i,mod-2)*f[i-1]%mod;
}
 
void getln(ll *f,ll *g,int n)
{
    getdao(f,daof,n);
//  printf("daof=");
//  for(int i=0;i<n;i++)
//      printf("%lld ",daof[i]);
//  puts("");
    getinv(f,invf,n);
//  printf("invf=");
//  for(int i=0;i<n;i++)
//      printf("%lld ",invf[i]);
//  puts("");
	int limit=1;
	while(limit<(n<<1)) limit<<=1;
    NTT(daof,limit,1),NTT(invf,limit,1);
    for(int i=0;i<limit;i++)
        daog[i]=daof[i]*invf[i]%mod;
    NTT(daog,limit,-1);
    getint(daog,g,n);
    for(int i=0;i<limit;i++)
    	daof[i]=invf[i]=daog[i]=0;
}

void getexp(ll *f,ll *g,int n)
{
	g[0]=1;
	int now=2;
	for(;now<(n<<1);now<<=1)
	{
		int limit=now<<1;
		getln(g,lng,now);
		for(int i=0;i<now;i++) ff[i]=(f[i]-lng[i]+mod)%mod;
		ff[0]=(ff[0]+1)%mod;
		NTT(g,limit,1),NTT(ff,limit,1);
		for(int i=0;i<limit;i++)
			g[i]=g[i]*ff[i]%mod;
		NTT(g,limit,-1);
		for(int i=0;i<limit;i++) ff[i]=0;
	}
	for(int i=0;i<now;i++) lng[i]=0;
}

ll fzl[N<<2],fzr[N<<2],fml[N<<2],fmr[N<<2],A[N<<2],B[N<<2];
vector<ll>fz[N<<2],fm[N<<2];

void solve(int k,int l,int r)
{
	if(l==r)
	{
		fz[k].push_back(1);
		fm[k].push_back(1);
		fm[k].push_back(mod-a[l]);
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	solve(lc,l,mid),solve(rc,mid+1,r);
	int limit=1;
	while(limit<=(r-l+1)) limit<<=1;
	for(int i=0,size=fz[lc].size();i<size;i++) fzl[i]=fz[lc][i];
	for(int i=0,size=fz[rc].size();i<size;i++) fzr[i]=fz[rc][i];
	for(int i=0,size=fm[lc].size();i<size;i++) fml[i]=fm[lc][i];
	for(int i=0,size=fm[rc].size();i<size;i++) fmr[i]=fm[rc][i];
	NTT(fzl,limit,1),NTT(fzr,limit,1),NTT(fml,limit,1),NTT(fmr,limit,1);
	for(int i=0;i<limit;i++)
	{
		A[i]=(fzl[i]*fmr[i]%mod+fzr[i]*fml[i]%mod)%mod;
		B[i]=fml[i]*fmr[i]%mod;
	}
	NTT(A,limit,-1),NTT(B,limit,-1);
	for(int i=0;i<=r-l+1;i++)
		fz[k].push_back(A[i]),fm[k].push_back(B[i]);
	for(int i=0;i<limit;i++) fzl[i]=fzr[i]=fml[i]=fmr[i]=A[i]=B[i]=0;
	fz[lc].clear(),fz[rc].clear(),fm[lc].clear(),fm[rc].clear();
}

void print(ll *a,int l,int r,string s)
{
	cout<<s<<"=";
	for(int i=l;i<=r;i++)
		cout<<a[i]<<" ";
	cout<<endl;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%lld",&a[i]);
    int limit=1;
    while(limit<=(m<<1)) limit<<=1;
    init(limit);
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=m+1;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
    ifac[m+1]=poww(fac[m+1],mod-2);
    for(int i=m;i>=0;i--) ifac[i]=ifac[i+1]*(i+1)%mod;
    for(int i=0;i<=m;i++) f[i]=ifac[i+1];
    getln(f,g,m+1);
    solve(1,1,n);
    for(int i=0;i<=n;i++) fzl[i]=fz[1][i],fml[i]=fm[1][i];
    getinv(fml,A,m+1);
    NTT(fzl,limit,1),NTT(A,limit,1);
    for(int i=0;i<limit;i++)
    	A[i]=A[i]*fzl[i]%mod;
    NTT(A,limit,-1);
    for(int i=0;i<=m;i++)
    	g[i]=g[i]*A[i]%mod;
    for(int i=0;i<limit;i++) A[i]=0;
    getexp(g,A,m+1);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    	printf("%lld ",fac[i]*A[i]%mod);
    return 0;
}