【XSY3241】暴风士兵(stormtrooper)（多项式分治，期望）

设一个人被扣了 $i$ 滴血的概率为 $p_i$，设 $c_i=exp-i$ 且只有 $c_0,c_1,\cdots ,c_{exp}$ 有值，那么题目就是在问 $\sum _{i=0}^{exp}{c}_i{p}_i$。

我们设 $p_i$ 的生成函数为 $P(x)$，那么第 $i$ 次操作相当于将 $P(x)$ 乘上 $(p_{i}x+(1-p_i))$。

那么题目第 $t$ 次询问要求的即为 $\sum _{i=0}^{exp}{c}_i[x^i]P(x)$，其中 $P(x)=\prod _{i=1}^t(p_{i}x+(1-p_i))$。

每次求出 $P(x)$ 并暴力统计答案显然是不现实的。

设 $P(x)=A(x)B(x)$，$A(x)=\prod _{i=1}^k(p_{i}x+(1-p_i))=\sum _{i=0}^k{a}_i{x}^i$，$B(x)=\prod _{i=k+1}^t(p_{i}x+(1-p_i))=\sum _{i=0}^{t-k}{b}_i{x}^i$。

那么：
$$\begin{array}{rl}an{s}_t& =\sum _{i=0}^{exp}{c}_i[x^i]P(x)\\ & =\sum _{i=0}^{exp}{c}_i[x^i]A(x)B(x)\\ & =\sum _{i=0}^{exp}{c}_i\sum _{j=0}^i{a}_j{b}_{i-j}\\ & =\sum _{i=0}^{exp}{b}_i\sum _{j=0}^{exp-i}{c}_{j+i}{a}_j\\ & =\sum _{i=0}^{exp}{c}_i^{\prime }[x^i]B(x)\end{array}$$
（其中 $c_i^{\prime }=\sum _{j=0}^{exp-i}{c}_{j+i}{a}_j$）

然后就可以分治了：假设当前区间为 $[l,r]$，长度为 $m=r-l+1$，我们可以先递归 $[l,mid]$，算出这段区间的答案，并算出次数为 $\frac{m}{2}$ 的 $A(x)$，再用它和 $c_i$ 做减法卷积 $O(m\log m)$ 算出 $c_i^{\prime }$ 的前 $\frac{m}{2}$ 项，然后再把 $c_i^{\prime }$ 代入作为新的 $c_i$ 递归 $[mid+1,r]$，算出这段区间的答案，并算出次数为 $\frac{m}{2}$ 的 $B(x)$，最后 $O(m\log m)$ 计算出 $P(x)=A(x)B(x)$。

总时间复杂度 $O(n{\log }^{2}n)$。

#include<bits/stdc++.h>

#define LN 19
#define N 100010

using namespace std;

namespace modular
{
	const int mod=998244353;
	inline int add(int x,int y){return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
	inline int dec(int x,int y){return x-y<0?x-y+mod:x-y;}
	inline int mul(int x,int y){return 1ll*x*y%mod;}
}using namespace modular;

inline int poww(int a,int b)
{
	int ans=1;
	while(b)
	{
		if(b&1) ans=mul(ans,a);
		a=mul(a,a);
		b>>=1;
	}
	return ans;
}

inline int read()
{
	int x=0,f=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9')
	{
		if(ch=='-') f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9')
	{
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^'0');
		ch=getchar();
	}
	return x*f;
}

typedef vector<int> poly;

int lans,n;
int rev[N<<2],w[LN][N<<2][2];
int A[N<<2],B[N<<2];
poly p[N<<2],c[N<<2];

void init(int limit)
{
	for(int bit=0,mid=1;mid<limit;bit++,mid<<=1)
	{
		int len=mid<<1;
		int gn=poww(3,(mod-1)/len);
		int ign=poww(gn,mod-2);
		int g=1,ig=1;
		for(int j=0;j<mid;g=mul(g,gn),ig=mul(ig,ign),j++)
			w[bit][j][0]=g,w[bit][j][1]=ig;
	}
}

void NTT(int *a,int limit,int opt)
{
	opt=(opt<0);
	for(int i=0;i<limit;i++)
		rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)*(limit>>1));
	for(int i=0;i<limit;i++)
		if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
	for(int bit=0,mid=1;mid<limit;bit++,mid<<=1)
	{
		for(int i=0,len=mid<<1;i<limit;i+=len)
		{
			for(int j=0;j<mid;j++)
			{
				int x=a[i+j],y=mul(w[bit][j][opt],a[i+mid+j]);
				a[i+j]=add(x,y),a[i+mid+j]=dec(x,y);
			}
		}
	}
	if(opt)
	{
		int tmp=poww(limit,mod-2);
		for(int i=0;i<limit;i++)
			a[i]=mul(a[i],tmp);
	}
}

void solve(int k,int l,int r)
{
	if(l==r)
	{
		int pi=read();
		pi=add(pi,lans);
		p[k].push_back(dec(1,pi));
		p[k].push_back(pi);
		printf("%d\n",lans=(add(mul(p[k][0],c[k][0]),mul(p[k][1],c[k][1]))));
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1,lc=k<<1,rc=k<<1|1;
	int len=r-l+1,lenl=mid-l+1,lenr=r-mid;
	for(int i=0;i<=lenl;i++) c[lc].push_back(c[k][i]);
	solve(lc,l,mid);
	int limit=1;
	while(limit<=len+lenl) limit<<=1;
	for(int i=0;i<=len;i++) A[i]=c[k][i];
	for(int i=0;i<=lenl;i++) B[i]=p[lc][lenl-i];
	NTT(A,limit,1),NTT(B,limit,1);
	for(int i=0;i<limit;i++) A[i]=mul(A[i],B[i]);
	NTT(A,limit,-1);
	for(int i=0;i<=lenr;i++) c[rc].push_back(A[lenl+i]);
	for(int i=0;i<limit;i++) A[i]=B[i]=0;
	solve(rc,mid+1,r);
	limit=1;
	while(limit<=len) limit<<=1;
	for(int i=0;i<=lenl;i++) A[i]=p[lc][i];
	for(int i=0;i<=lenr;i++) B[i]=p[rc][i];
	NTT(A,limit,1),NTT(B,limit,1);
	for(int i=0;i<limit;i++) A[i]=mul(A[i],B[i]);
	NTT(A,limit,-1);
	for(int i=0;i<=len;i++) p[k].push_back(A[i]);
	for(int i=0;i<limit;i++) A[i]=B[i]=0;
}

int main()
{
	lans=read(),n=read();
	int limit=1;
	while(limit<=(n<<1)) limit<<=1;
	init(limit);
	for(int i=0;i<=lans;i++) c[1].push_back(lans-i);
	for(int i=lans+1;i<=n;i++) c[1].push_back(0);
	solve(1,1,n);
	return 0;
}
/*
1 1
0
*/
/*
918 991
456307063
488721210
886185325
243931909
217329246
856712605
*/
/*
98908 99965
775551600
543754136
259120750
821986384
362863140
*/