7、拍卖模型均衡的数值解

拍卖模型均衡的数值解

1. 均衡解的存在性与唯一性问题

在拍卖模型的研究中，数值解的价值在已知解存在时远高于未知是否存在解的情况。对于使用首价拍卖数据的实证研究者来说，解的唯一性至关重要。若缺乏唯一性，计量经济学家将难以证明所观察到的数据均源自同一均衡。

由于Lipschitz条件不成立，Picard - Lindelöf定理（保证初值问题存在唯一解的充分条件之一）无法应用于相关的微分方程组。不过，Lebrun（1999）证明了在所有估值分布具有共同支撑且在某点有质量点时，逆投标函数在特定区间上可微，并且存在唯一的贝叶斯 - 纳什均衡。他还给出了无质量点时唯一性的充分条件，这些条件较为温和，研究者易于验证。Maskin和Riley（2000b）证明了存在性，Maskin和Riley（2000a）则研究了非对称首价拍卖的一些均衡性质。此外，Reny（1999）证明了一般类游戏中均衡的存在性，Athey（2001）证明了在多种情况下，具有异质投标者的首价拍卖存在纯策略纳什均衡。

2. 特殊情况：两个来自非对称均匀分布的投标者

考虑一个无保留价的首价拍卖，有两个风险中性的投标者。投标者n的估值$v_n$独立地从均匀分布$F_n(v_n)$中抽取，其支撑为$[v, \overline{v}_n]$。为方便起见，假设最低可能估值$v = 0$，且所有投标者相同，仅最高可能估值不同。出价最高者赢得拍卖并支付其出价。

在这种环境下：
- 投标者n的分布函数为$F_n(v) = \frac{v}{\overline{v}_n}$，$n = 1, 2$。
- 投标者n以出价$s_n$赢得拍卖的概率为$Pr(win|s_n) = \frac{\ph