15、矩阵线性变换的计算与应用

矩阵线性变换的计算与应用

1. 矩阵与向量相乘

1.1 理论基础

当线性变换 (B) 用矩阵表示，向量 (v) 用列向量矩阵表示时，就可以计算 (B(v))。例如，若 (B = \begin{pmatrix}0&2&1\0&1&0\1&0& - 1\end{pmatrix})，(v=\begin{pmatrix}3\ - 2\5\end{pmatrix})，矩阵 (B) 的列向量分别是 (B(e_1))，(B(e_2))，(B(e_3))。因为 (v = 3e_1-2e_2 + 5e_3)，所以 (B(v)=3B(e_1)-2B(e_2)+5B(e_3))，计算可得：
[
\begin{align }
B(v)&=3\cdot\begin{pmatrix}0\0\1\end{pmatrix}-2\cdot\begin{pmatrix}2\1\0\end{pmatrix}+5\cdot\begin{pmatrix}1\0\ - 1\end{pmatrix}\
&=\begin{pmatrix}0\0\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-4\ - 2\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}5\0\ - 5\end{pmatrix}\
&=\begin{pmatrix}1\ - 2\ - 2\end{pmatrix}
\end{align }
]
用矩阵乘法表示为 (Bv=\begin{pmatrix}0&2&1\0&1&0\1&0&