线代强化NO18|矩阵的相似与相似对角化|概念|性质|判定|矩阵相似-优快云博客

相似

基本概念

$\begin{aligned} &设A和B为两个n阶方阵，如果存在一个n阶可逆矩阵P使得B=PAP^{-1}，\\&则称矩阵A和B相似，记作A \sim B。\\ & \\ &\boxed{【注】} \\ &(1)\ 对任意n阶矩阵A，有A与A相似；\\ &(2)\ 若A与B相似，且B与C相似，则A与C相似。 \end{aligned}$

常用性质

$\begin{aligned} &(1)\ A \sim B \implies A^T \sim B^T; \\ & \\ &(2)\ A \sim B\ \text{且矩阵}\ A\ \text{可逆} \implies A^{-1} \sim B^{-1}; \\ & \\ &(3)\ A \sim B \implies f(A) \sim f(B),\ \text{其中}\ f(x)\ \text{为多项式}; \\ & \\ &(4)\ A \sim B \implies |A| = |B|; \\ & \\ &(5)\ A \sim B \implies r(A) = r(B); \\ & \\ &(6)\ A \sim B \implies |\lambda E - A| = |\lambda E - B|,\ \text{也即相似的矩阵具有相同的特征值}; \\ & \\ &(7)\ A \sim B \implies \text{tr}(A) = \text{tr}(B)。 \end{aligned}$
$\begin{aligned} &【注】（1）结合前三条性质还可以知道，如果\ A \sim B\ ，则有 \\ &f(A^T) \sim f(B^T),\ f(A^{-1}) \sim f(B^{-1})\ （A可逆） \\ & \\ &（2）相似的矩阵具有相同的特征值，这条性质在考试中用得比较多。\\&需要注意的是它的逆命题不成立，也即：有相同特征值的矩阵不一定相似。\\&如令\ A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}，容易检验矩阵\ A,B\ 的特征值相同，\\&但对于任意的二阶可逆矩阵\ P\ ，都有\ PBP^{-1} = O \neq A\ ，可知\ A,B\ 不相似。 \end{aligned}$

相似对角化

基本概念

$\begin{aligned} &对n阶方阵A，如果存在一个n阶对角矩阵\Lambda，使得A与\Lambda相似，\\&则称矩阵A可相似对角化，并把\Lambda称为矩阵A的相似标准形。\\ & \\ &\boxed{【注】}\\&(1)相似对角化一般简称对角化，矩阵A可对角化的定义还可以等价地描述为:\\ &一是存在n阶可逆矩阵P，与n阶对角矩阵\Lambda，使得A=P\Lambda P^{-1};\\&二是存在n阶可逆矩阵P使得P^{-1}AP为对角矩阵。\\ & (2)相似对角化是本模块的核心考点，关于相似对角化我们主要掌握两个问题:\\&一是矩阵可相似对角化的条件，\\&二是相似对角化的相关计算（最基本的是可逆矩阵P，与n阶对角矩阵\Lambda的计算）。 \end{aligned}$

判定定理

$\begin{aligned} &(1)定理：n阶矩阵A可相似对角化的充要条件是\\&矩阵A存在n个线性无关的特征向量。\\&同时，在等式A=P\Lambda P^{-1}中，对角矩阵\Lambda的对角线元素为A的n个特征值，\\&可逆矩阵P的列向量为矩阵A对应的n个线性无关的特征向量。\\ &推论：设矩阵A有n个互不相同的特征值，则矩阵A可相似对角化。 \end{aligned}$
$\begin{aligned} &(2)定理：n阶矩阵A可相似对角化的充要条件是对任意特征值\lambda，\\&\lambda线性无关的特征向量个数都等于\lambda的重数。 \\ &推论：n阶矩阵A可相似对角化的充要条件是对任意特征值\lambda，\\&n - r(\lambda E - A) = \lambda的重数。 \end{aligned}$

矩阵相似

矩阵相似的判定

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$\begin{aligned} &解：\exists\ 可逆矩阵\ P，使\ PAP^{-1}=B. \\ & \\ &B^T=(PAP^{-1})^T=(P^{-1})^TA^TP^T=(P^T)^{-1}A^TP^T，故\ B^T与A^T相似； \\ & \\ &B^{-1}=(PAP^{-1})^{-1}=(P^{-1})^{-1}A^{-1}P^{-1}=PA^{-1}P^{-1}，故\ B^{-1}与A^{-1}相似； \\ & \\ &B+B^T=PAP^{-1}+(P^T)^{-1}A^TP^T=? \\ & \\ &B+B^{-1}=PAP^{-1}+PA^{-1}P^{-1}=P(A+A^{-1})P^{-1}，故\ B+B^{-1}与A+A^{-1}相似. \end{aligned}$
选C
$\begin{aligned} &【小结】对于抽象型矩阵相似关系的判定，一般通过定义和性质，\\&设\ A,B\ 是可逆矩阵，且\ A\ 与\ B\ 相似，则有 \\ & \\ &①\ kA \sim kB,\ A^k \sim B^k,\ f(A) \sim f(B),\ A^T \sim B^T,\ A^{-1} \sim B^{-1},\ A^* \sim B^*, \\ & \\ &②\ f(A) + A^{-1} \sim f(B) + B^{-1}。 \end{aligned}$
![[Pasted image 20251123190433.png]]

$\begin{aligned} &若可相似对角化，则特征值相同则相似。\\ & \\ &2的重数=3-r(A-2E) \\ &A可相似对角化。\\ &A的特征值与C的特征值相同 \\ &故A与C相似。\\ & \\ &2的重数\neq3-r(B-2E) \\ &B不可相似对角化。\\ &C为对角阵，故B与C不相似。 \end{aligned}$
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$\begin{aligned} &1的重数 \neq 3 - r(A - E) \\ &\text{不可相似对角化}\\&\\&若3 - r(A - E) = 3 \\ &r(A - E) = 0 \implies A - E = 0 \implies A = E \\ & 只有单位矩阵可以与其相似对角化 \end{aligned}$
$\begin{aligned} &若两个矩阵均不可相似对角化，根据相似的必要条件来排除相似的可能： \\ &相似的必要条件\begin{cases} ①\ 秩相等 \\ ②\ 特征值相同 \\ ③\ 迹相同 \\ ④\ 行列式相同 \\ ⑤\ r(f(A)) = r(f(B)) \end{cases} \end{aligned}$
$\begin{aligned} &解: \quad r(P - E) = 2, \quad r(A - E) = 2 \\ &r(B - E) = 1, \quad r(C - E) = 1, \quad r(D - E) = 1 \\ &故排除B、C、D，选A \end{aligned}$
$\begin{aligned} &【小结】判断矩阵相似的基本思路： \\ &1. 对于抽象型矩阵，一般可以通过相似的定义和性质来判断； \\ &2. 对于数值型矩阵，可以分为如下三种情况： \\ &\quad（1）首先检验两个矩阵的秩和特征值是否相同，如果有一个不同，则一定不相似； \\ &\quad（2）如果特征值和秩均相同，则检验两个矩阵是否可相似对角化，如果两个矩阵均可 \\ &\qquad 相似对角化，则由矩阵相似的传递性可知，这两个矩阵一定相似；如果两个矩阵一个可 \\ &\qquad 相似对角化，一个不可以，则一定不相似。 \\ &\quad（3）如果特征值和秩都相同，同时两个矩阵都不可以相似对角化，则还可以检验 \\ &\qquad r(\lambda E - A)，如果对于矩阵的某一个特征值\lambda，有r(\lambda E - A) \neq r(\lambda E - B)，则矩 \\ &\qquad 阵A,B不相似，值得注意的是此方法只能得出不相似，在选择题中可以排除错误选项， \\ &\qquad 对于两个均不可相似对角化的矩阵，只能通过定义来得出相似。 \end{aligned}$

矩阵相似的相关计算

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$\begin{aligned} &A(\alpha_1\ \alpha_2\ \alpha_3) = (\alpha_1\ \alpha_2\ \alpha_3) \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \\ &|B - \lambda E| = \begin{vmatrix} 2 - \lambda & 0 & 0 \\ 1 & 1 - \lambda & -1 \\ 1 & 2 & 1 - \lambda \end{vmatrix} = (2 - \lambda)\left((\lambda - 1)^2 + 4\right) \end{aligned}$
答案是2
$\begin{aligned} &【小结】如果\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n为线性无关的n维列向量组，且 \\ &A(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n) = (\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)B，则A相似于B。 \end{aligned}$
![[Pasted image 20251123234142.png]]

$\begin{aligned} &解：法1:特征值，令A = B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\ &r(A - 2E) = r\begin{pmatrix} -2 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix} = 3 \\ &r(A - E) = r\begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} = 1 \\ &故选C. \end{aligned}$
$\begin{aligned} &法2：由相似的必要条件可知： \\ &r(A - 2E) = r(B - 2E) = 3 \\ &r(A - E) = r(B - E) = 1 \\ &选C. \end{aligned}$
$\begin{aligned} &【小结】已知矩阵A相似于B，求r(f(A))或|f(A)|，可直接利用 \\ &r(f(A)) = r(f(B))，|f(A)| = |f(B)|来求，试图先求出B的特征值，再由A的特征值 \\ &得出r(f(A))或|f(A)|是繁琐甚至不可行的方法。 \end{aligned}$
![[Pasted image 20251124075910.png]]

$\begin{aligned} &(1)\ A(x,\ Ax,\ A^2x) = (Ax,\ A^2x,\ -x + 2Ax + 3A^2x) \\ &= (x,\ Ax,\ A^2x) \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \\ \\ &解：(2)\ B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix},\ |B - \lambda E| = \begin{vmatrix} -\lambda & 0 & -1 \\ 1 & -\lambda & 2 \\ 0 & 1 & 3 - \lambda \end{vmatrix} = -\lambda^3 + 3\lambda^2 + 2\lambda - 1 = 0,\ 无法求解. \\ &换思路： \\ &(2)\ |A + 2E| = |B + 2E| = \begin{vmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 5 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & -4 & -5 \\ 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 5 \end{vmatrix} = 15 \end{aligned}$