10、量子计算中的线性代数与多量子比特系统

量子计算中的线性代数与多量子比特系统

线性代数基础

线性代数是量子计算的数学语言。量子态由称为“ket”的列向量表示，而“ket”的共轭转置是“bra”。将“bra”和“ket”相乘是内积，它给出了状态之间的投影或振幅。内积为 1 的状态是归一化的，内积为零的状态是正交的。

例如，一个量子比特处于状态 $|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}1 - 2i \ 1\end{pmatrix}$。当我们在不同的基下测量这个量子比特时，会得到不同的结果和概率。

• 在 X 基 ${|+\rangle, |-\rangle}$ 下测量 ：需要将量子比特的状态表示在该基下，然后计算测量到每个基态的概率。
• 在 Y 基 ${|i\rangle, |-i\rangle}$ 下测量 ：同样需要先将状态转换到 Y 基，再计算概率。

量子门作为矩阵

量子门是保持总概率等于 1 的矩阵，即酉矩阵。我们可以通过量子门对基态 $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 的作用来确定其矩阵表示。

例如，一个量子门 $U$ 对 $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 的作用如下：
$U|0\rangle = \frac{\sqrt{2}-i}{2}|0\rangle - \frac{1}{2}|1\rangle = \begin{pmatrix}\frac{\sqrt{2}-i}{2} \ -\frac{1}{2}\end{pmatrix}$