4、量子力学中的线性代数与量子比特

量子力学中的线性代数与量子比特

1. 线性代数基础

1.1 向量与范数

若将向量 (|\psi\rangle) 相对于任意一组正交归一基 ({|\varphi_i\rangle}) 表示为 (|\psi\rangle = \sum_i \alpha_i|\varphi_i\rangle)，那么该向量的范数 (|\ |\psi\rangle | = \sum_i |\alpha_i|^2)。

1.2 线性算子

线性算子 (T) 是向量空间 (H) 到自身的线性变换，即 (T: H \to H)。向量的外积 (|\psi\rangle\langle\phi|) 也是一种算子，当它作用于向量 (|\gamma\rangle) 时，有 ((|\psi\rangle\langle\phi|)|\gamma\rangle = |\psi\rangle(\langle\phi|\gamma\rangle) = (\langle\phi|\gamma\rangle)|\psi\rangle)。向量 (|\psi\rangle) 与其自身的外积 (|\psi\rangle\langle\psi|) 定义了一个线性算子，它将向量 (|\phi\rangle) 投影到由 (|\psi\rangle) 张成的一维子空间上，这种算子被称为正交投影算子。

设 (B = {|b_n\rangle}) 是向量空间 (H) 的一组正交归一基，那么 (H) 上的每个线性算子 (T) 都可以写成 (T = \sum_{b_n,b_m \in B} T_{n,m}|b_n\rangle\langle b_m|)，其中 (T_{n,m} = \langle b_n|T|b_