16、数字控制中的量化误差分析与实现问题

数字控制中的量化误差分析与实现问题

1. 控制算法实现分析

在数字控制中，截断和舍入误差是常见的问题。我们可以用一个统计模型来描述这些误差：
[ \epsilon = Q(x) - x ]
其中，(Q(x)) 是 (x) 在 (A/D) 转换器或 CPU 中表示的值。

如果 (q = 2^{-C}) 是最低有效位（LSB），我们将 (\epsilon) 建模为一个随机变量：
- 对于舍入误差，(\epsilon) 均匀分布在 ([-q/2, q/2]) 上。
- 对于截断误差，(\epsilon) 均匀分布在 ([-q, 0]) 上。

同时，我们假设不同误差源之间没有相关性，不同时间步的误差也没有相关性，并且将 (\epsilon) 建模为“白噪声”。

1.1 离散系统对白噪声的响应

设 (\epsilon_{ad}) 为 (A/D) 量化噪声，(\epsilon_{i})（(i \geq 1)）为第 (i) 次乘法或加法噪声。量化噪声 (\epsilon_{i}) 的传播取决于误差源与输出“(u)”之间的传递函数 (H_{i}(z))。

如果系统是稳定且线性的，响应 (\epsilon_{i} \to u) 可以用传递函数 (H_{i}(z)) 或脉冲响应 (h_{j}(k)) 来描述：
[ u_{\epsilon_{i}} = E{u_{\epsilon_{i}}(k)} = \sum_{j = 0}^{\infty} h_{j}(k) E{\epsilon_{i}(k - j)} ]
如果使用舍入，有：
[ u_{\epsilon_{i}}