2、量子计算中的线性代数基础

量子计算中的线性代数基础

1. 线性代数与量子计算的关联

线性代数在量子计算领域至关重要，因为量子计算中的几乎所有操作都使用线性代数语言来描述量子计算机内的细节和过程。线性代数主要研究向量空间和矩阵，涵盖向量与矩阵的线性映射和变换。其几何表示，如二维笛卡尔系统，能让我们更直观地理解向量和矩阵的操作。

2. 向量与向量空间

2.1 向量

在经典计算中，经典比特用 0（电压关）和 1（电压开）表示。而在量子计算里，使用量子比特（qubit）来表示。量子比特是一个两级量子系统，是量子计算的基本信息单位，其性质源于量子力学。量子比特可以用向量表示，数学家称其为向量，量子物理学家和计算机科学家则称其为量子比特。

表示量子比特常用的是狄拉克符号（bra - ket notation），用尖括号 <> 和竖线 | 来表示。常见的基本量子比特是二维列向量，例如：
- (|0\rangle = \begin{bmatrix}1\0\end{bmatrix})
- (|1\rangle = \begin{bmatrix}0\1\end{bmatrix})

狄拉克符号有以下重要性质：
- 每个 ket 量子比特都有对应的 bra 量子比特。
- 常数乘法性质：对于常数 (c)，(|c\psi\rangle = c|\psi\rangle)，且 (\langle c\psi| = c^*\langle\psi|)。

2.2 向量空间

向量空间是向量的集合，可进行向量加法和标量乘法两种基本运算。在量子计算中，涉及的是复向量空间，即希尔伯特空间（