5、线性代数基础与量子计算中的应用

线性代数基础与量子计算中的应用

1. 向量基础

在常见的坐标系中，向量的分量通常是实数，如向量的 (x)、(y)、(z) 分量。但更一般地，向量的分量也可以是复数 (a + bi) 形式，这种向量存在于复向量空间中。

下面通过几个例子来加深对向量的理解：
- 位移向量问题 ：假设用 (\hat{N}) 表示向北的单位向量，(\hat{E}) 表示向东的单位向量，(\hat{F}) 表示向前的单位向量。若西尔维娅向东移动 4 个单位，向后移动 3 个单位，向北移动 5 个单位。
- 可以写出位移向量 (\vec{D}=4\hat{E}-3\hat{F}+5\hat{N})，其大小可根据公式计算。
- 若将单位向量改为 (\hat{NE})、(\hat{NW}) 和 (\hat{F})（其中 (\hat{NE}) 和 (\hat{NW}) 与原 (\hat{N}) 轴成 (45^{\circ})），同样可计算向量的大小。
- 向量求和与大小计算 ：已知两个向量 (\vec{P} = \hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}) 和 (\vec{Q} = 6\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k})，则它们的和 (\vec{R}=\vec{P} + \vec{Q}=(1 + 6)\hat{i}+(3 + 3)\hat{j}+(4 + 2)\hat{k}=7\hat{i}+6\hat{j}+6\hat{k})，其大小也可按相应公式算出。
- 向量重叠与正交判断 ：
- 对于向量 (\vec{u} = \begin{pmatri