概率、信息论与量子计算问题解析

最新推荐文章于 2025-11-22 18:06:54 发布

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#概率论 # 信息论 # 量子计算

1、同时抛掷两枚硬币，以下事件的概率分别是多少：(a) 得到两个正面；(b) 得到一个正面和一个反面；(c) 得到两个正面或两个反面。

(a) 每枚硬币出现正面的概率是 $ \frac{1}{2} $，两枚硬币是独立事件，所以得到两个正面的概率是
$$ \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} $$

(b) 得到一个正面和一个反面有两种情况（正、反和反、正），每种情况的概率是
$$ \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} $$
所以总概率是
$$ \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} $$

(c) 得到两个反面的概率是
$$ \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} $$
得到两个正面的概率是
$$ \frac{1}{4} $$
所以得到两个正面或两个反面的概率是
$$ \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} $$

2、掷三个骰子，若结果是4、2、1的任意排列则获胜。第一次、第二次和第三次掷骰子获胜的概率分别是多少？要至少有50%的获胜机会需要掷多少次骰子？

每次掷三个骰子是相互独立事件，每次获胜的概率相同。每个骰子出现特定数字的概率是 $ \frac{1}{6} $，4、2、1 有 $ 3! $ 种排列方式，所以每次获胜的概率为：

$$
\left(\frac{1}{6}\right) \times \left(\frac{1}{6}\right) \times \left(\frac{1}{6}\right) \times 3! = \frac{1}{36}
$$

设掷 $ n $ 次骰子至少有 50% 的获胜机会，一次都不获胜的概率是 $ \left(\frac{35}{36}\right)^n $，那么至少获胜一次的概率是：

$$
1 - \left(\frac{35}{36}\right)^n
$$

令：

$$
1 - \left(\frac{35}{36}\right)^n \geq 0.5
$$

即：

$$
\left(\frac{35}{36}\right)^n \leq 0.5
$$

两边取对数可得：

$$
n \geq \frac{\log(0.5)}{\log\left(\frac{35}{36}\right)} \approx 24.61
$$

所以 $ n $ 取 25，即要至少有 50% 的获胜机会需要掷 25 次骰子。

综上，第一次、第二次和第三次掷骰子获胜的概率均为 $ \frac{1}{36} $，要至少有 50% 的获胜机会需要掷 25 次骰子。

3、三家相互竞争的汽车公司A、B和C，市场份额分别为60%、30%和10%。这些公司生产的汽车出现一些制造缺陷的概率分别为A公司5%、B公司7%、C公司15%。随机购买一辆汽车出现制造缺陷的概率是多少？

可根据全概率公式计算。设事件 $ D $ 表示汽车出现制造缺陷，事件 $ A $、$ B $、$ C $ 分别表示购买的汽车来自公司 $ A $、$ B $、$ C $。则：

$$
\begin{align }
P(A) &= 0.6, \
P(B) &= 0.3, \
P(C) &= 0.1, \
P(D|A) &= 0.05, \
P(D|B) &= 0.07, \
P(D|C) &= 0.15.
\end{align }
$$

根据全概率公式：

$$
\begin{align }
P(D) &= P(D|A)P(A) + P(D|B)P(B) + P(D|C)P(C) \
&= 0.05 \times 0.6 + 0.07 \times 0.3 + 0.15 \times 0.1 \
&= 0.03 + 0.021 + 0.015 \
&= 0.066.
\end{align }
$$

即随机购买一辆汽车出现制造缺陷的概率是 6.6% 。