函数的极限

本文详细讲解了函数极限的定义、性质及运算法则,并列举了常见的函数极限实例,包括正比函数、指数函数、对数函数及三角函数的极限。

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一、函数极限的定义

limxx0f(x)=A对于ϵ>0,δ>0,使得x(x0δ,x0+δ),满足|f(x)A|<ϵ

limx±f(x)=A对于ϵ>0,x0>0,使得x>(<)x0,满足|f(x)A|<ϵ

【注】limxx0f(x)f(x0)无关(不一定相等),它只表示f(x)x0点上的趋向性。

limxx0f(x)=f(x)f(x)x0连续。

f(x)在定义域上任一点连续f(x)f(x)连续。

二、函数极限的性质

1.唯一性

函数在一点上最多有一个极限。

2.保序性

limxx0f(x)<limxx0g(x),则存在δ,使得x(x0δ,x0+δ),满足f(x)<g(x)

3.夹逼性

若三个函数f(x),g(x),h(x),δ,使x(x0δ,x0+δ)满足f(x)g(x)h(x),且limxx0f(x)=limxx0h(x)=a,limxx0g(x)=a

三、运算法则。

limxx0f(x)=a,limxx0g(x)=b

1.αlimxx0f(x)+βlimxx0f(x)=αaβb

2.limxx0f(x)·limxx0f(x)=ab

3.limxx0f(x)g(x=ab(b0)

4.limxx0log()f(x)=log()limxx0f(x)

四、常见函数极限。

1.p>0,limx+p1x=1

p>1,p1x>1,p1x=1+y,p=(1+y)x=C0x1+C1xy1+C2xy2++Cxxyx>1+xy,y<p1xϵ>0,x0=p1ϵ,x>x0|f(x)1|<ϵ,p>1,limx+p1x=1
0<p<1,1p>1,limx+p1x=1limx+1p1x=1.
综上,p>0,limx+p1x=1/

2.x>0,limx+x1x=1

证明方法与1类似,用二次项公式时取C2nx2项即可.

3.limx0sinxx=1

证明:由单位圆可得SOABSOACSOAB
12sinx12x12tanx
所以得cosxsinxx1,
由夹逼定理得limx0sinxx=limx0cosx=1,证毕.
[引申]由上式两边同除以cosx可得limxx0tanxx=1

4.已知limx+(1+1x)x=limx0(1+x)1x=e,求limx(1+1x)x.

解:设y=x,limx(1+1x)x=limy+(11y)y,
limy+(11y)y=limy+1(1+1y1)y1limy+1(1+1y1)=1e,
所以limx(1+1x)x=1.

5.limx0ln(x+1)x=1

证明:limx0ln(x+1)x=limx0ln(1+x)1x=lnlimx0(1+x)1x=lne=1.

6.limx0ex1x=1

证明:设y=ex1,则x=ln(y+1),当x0,y0,
所以limx0ex1x=limy0yln(y+1)=1

由 3,5,6可知,当函数中只有同级运算时,limx0f(x)x,sinx,tanx,ln(x+1),ex1可相互替换。
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