一、函数极限的定义
limx→x0f(x)=A⇔对于∀ϵ>0,∃δ>0,使得∀x∈(x0−δ,x0+δ),满足|f(x)−A|<ϵ。
limx→±∞f(x)=A⇔对于∀ϵ>0,∃x0>0,使得∀x>(<)x0,满足|f(x)−A|<ϵ。
【注】limx→x0f(x)与f(x0)无关(不一定相等),它只表示f(x)在x0点上的趋向性。
limx→x0f(x)=f(x)⇔f(x)在x0连续。
f(x)在定义域上任一点连续f(x)⇔f(x)连续。
二、函数极限的性质
1.唯一性
函数在一点上最多有一个极限。
2.保序性
若limx→x0f(x)<limx→x0g(x),则存在δ,使得∀x∈(x0−δ,x0+δ),满足f(x)<g(x)。
3.夹逼性
若三个函数f(x),g(x),h(x),∃δ,使∀x∈(x0−δ,x0+δ)满足f(x)≤g(x)≤h(x),且limx→x0f(x)=limx→x0h(x)=a,则limx→x0g(x)=a。
三、运算法则。
设limx→x0f(x)=a,limx→x0g(x)=b。
1.αlimx→x0f(x)+βlimx→x0f(x)=αa⋅βb
2.limx→x0f(x)·limx→x0f(x)=a⋅b
3.limx→x0f(x)g(x)=ab(b≠0)
4.limx→x0log()√f(x)=log()√limx→x0f(x)
四、常见函数极限。
1.当p>0,limx→+∞p1x=1
证明:当p>1,p1x>1,不妨设p1x=1+y,则p=(1+y)x=C0x1+C1xy1+C2xy2+⋅⋅⋅+Cxxyx>1+xy,所以y<p−1x,任取ϵ>0,则∃x0=p−1ϵ,当x>x0时,满足|f(x)−1|<ϵ,所以当p>1,limx→+∞p1x=1
当0<p<1,则1p>1,所以limx→+∞p1x=1limx→+∞1p1x=1.
综上,当p>0,limx→+∞p1x=1/
2.当x>0,limx→+∞x1x=1
证明方法与1类似,用二次项公式时取C2nx2项即可.
3.limx→0sinxx=1
证明:由单位圆可得S三角形OAB≤S扇形OAC≤S三角形OAB
即12sinx≤12x≤12tanx
所以得cosx≤sinxx≤1,
由夹逼定理得limx→0sinxx=limx→0cosx=1,证毕.
[引申]由上式两边同除以cosx可得limx→x0tanxx=1
4.已知limx→+∞(1+1x)x=limx→0(1+x)1x=e,求limx→−∞(1+1x)x.
解:设y=−x,limx→−∞(1+1x)x=limy→+∞(1−1y)−y,
而limy→+∞(1−1y)y=limy→+∞1(1+1y−1)y−1⋅limy→+∞1(1+1y−1)=1e,
所以limx→−∞(1+1x)x=1.
5.limx→0ln(x+1)x=1
证明:limx→0ln(x+1)x=limx→0ln(1+x)1x=lnlimx→0(1+x)1x=lne=1.
6.limx→0ex−1x=1
证明:设y=ex−1,则x=ln(y+1),当x→0,则y→0,
所以limx→0ex−1x=limy→0yln(y+1)=1