高等数学---函数的极限

本文探讨高等数学中函数的极限概念,分为自变量趋于有限值和无穷大时的极限,强调其在机器学习中的重要性。通过定义、几何解释和证明练习,帮助读者深入理解函数极限并为学习机器学习打下基础。

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前言

本博客目前阶段记录的数学相关的知识,是为了学习机器学习而准备的,所以可以很明显的感觉到数学的实用性和数学的魅力。但从另一侧面来说,本博客记录的数学知识是不完整的,也是不成体系的,也没有深挖相关知识的来龙去脉,只是本人觉得机器学习中需要某些数学知识的时候,就记这些知识,够用就可以了。所以,并不适合入门。

虽然如此,我想本博客数学方面的相关内容最起码能起一个方向作用(因为当年我开始学习机器学习相关的数学基础时很茫然),让读者知道哪些数学基础是学习机器学习时非先掌握不可的,这样才能有的放矢的去查漏补缺,并学以致用。

函数极限

函数的极限看书上的描述,再结合图形,多做练习就差不多了。
函数的极限分两种情况:一种是自变量趋于有限值时函数的极限;另一种是自变量趋于无穷大时函数的极限。

自变量趋于有限值时函数的极限

从数列极限到函数极限的过渡可参考同济第7版P27P27函数的极限一节的描述,辅助理解函数的极限。这里仅列出其定义。

定义1 设函数f(x)f(x)在点x0x0的某一去心邻域内有定义。如果存在常数AA,对于任意给定的正数 ε (不论它有多小),总存在正数δδ,使得当xx满足不等式 0 < | x x 0 | < δ 时,对应的函数值f(x)f(x)都满足不等式

|f(x)A|<ε|f(x)−A|<ε

那么常用 AA 就叫做函数 f ( x ) xx0x→x0 时的极限,记作
limxx0f(x)=Af(x)A(xx
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