导数

一、定义

当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f’(x0)或df(x0)/dx。

二、公式

$由斜率公式k=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}可得f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$.

$1.sinx:f'(x)=cosx$

$2.cosx:f'(x)=-sinx$

$3.lnx:f'(x)=\frac{1}{x}$

$4.e^x:f'(x)=e^x$

$5.x^n:f'(x)=nx^{n-1}$

$6.loga^x:f'(x)=\frac{1}{xlna}$

$7.a^x:f'(x)=a^xlna$

三、运算法则

$1.[\alpha f(x)+\beta g(x)]'=\alpha f'(x)+\beta g'(x)$

$2.[f(x)g(x)]'=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)$

$3.[\frac{f(x)}{g(x)}]'=\frac{f'(x)}{g(x)}-\frac{f(x)g'(x)}{g^2(x)}$

四、复合函数求导

$设函数u=g(x)在x=x_0可导，而函数f(u)在u=u_0处可导，则f(g(x))在x=x_0处可导且[f(g(x)]'_{x=x_0}=f'(g(x_0))·g'(x_0).$
如$[(sinx)^2]'=2sinx·cosx$.

【注】连续函数不一定可导，但可导函数一定连续。