数列的极限

一、数列极限的定义

$${\lim_{n\to +\infty}a_n=a\Leftrightarrow\forall\epsilon>0,\exists N\in N^+，当n>N时，有|x_n-a|<\epsilon}$$
有极限的数列也叫收敛数列，一个数列的极限是a也叫该数列收敛于a。

二、数列极限的性质

1.唯一性

一个数列的极限唯一。

2.有界性

收敛数列有界，即存在实数$M$，使$|a_n|<M$。
其中$M$可取$max${$|a_1|,|a_2|···|a_N|,|a|+\epsilon(a=\lim\limits_{n\to +\infty}a_n$}

3.保序性

若$\lim\limits_{n\to +\infty}a_n=a$,$\lim\limits_{n\to +\infty}b_n=b$,且$a<b$,则存在$N$,使得$\forall n>N$,有$a_n<b_n$(取$\epsilon=\frac{a+b}{2})$反之不对，如{$\frac{1}{n}$}和{$-\frac{1}{n}$}

4.夹逼性

若三个数列{$a_n$},{$b_n$},{$c_n$},存在$N$,使$\forall n>N,a_n\le b_n\le c_n,且\lim\limits_{n\to +\infty}a_n=a$,$\lim\limits_{n\to +\infty}b_n=a,则\lim\limits_{n\to +\infty}c_n=a$。

5.stolz定理

若{$b_n$}严格单调递增到正无穷或严格递减到0，且$\lim\limits_{n\to +\infty}(\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}})=a$,则$\lim\limits_{n\to +\infty}(\frac{a_n}{b_n})=a$。

三、运算法则

设$\lim\limits_{n\to +\infty}a_n=a$,$\lim\limits_{n\to +\infty}b_n=b$

1. $\lim\limits_{n\to +\infty}(\alpha a_n+\beta b_n)=\alpha a+\beta b$

2. $\lim\limits_{n\to +\infty}(a_n·b_n)=a·b$

3. $\lim\limits_{n\to +\infty}(\frac{a_n}{b_n})=\frac{a}{b}(b\ne 0)$

4. $\lim\limits_{n\to +\infty}(\sqrt{a_n})=\sqrt{\lim\limits_{n\to +\infty}a_n}$

四、数列收敛准则（判定数列是否收敛）

1.从某项开始单调递增（减）且有界的数列必定收敛。

2.柯西收敛准则

{$a_n$}收敛$\Leftrightarrow\forall\epsilon>0$,存在$N$满足当$n,m\ge N$时，$|a_m-a_n|<\epsilon$。

五、常见无理数所对应的数列极限。

$e=\lim\limits_{n\to+\infty}(1+\frac{1}{n})^n$
$\pi=\lim\limits_{n\to+\infty}（n·sin\frac{180^\circ}{n}）$