BJ模拟 Bash Plays with Functions【积性函数】

最新推荐文章于 2022-07-31 20:30:16 发布

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数论函数

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本文介绍了一种通过递归函数求解特定数学问题的方法，该问题涉及计算一系列与正整数对相关的函数值。文章详细阐述了解题思路，包括如何利用积性函数的性质简化计算过程，并给出了一段C++代码实现。

题目描述：

Bash定义函数 $f_0(n)$ 表示有序正整数对 $(p,q)$ 使得 $p⋅q=n$ 且 $gcd(p,q)=1$

Bash觉得计算 $f_0(n)$ 太简单了，于是它定义了一系列的函数：

f r + 1 (n) = \sum u \cdot v = n f r ( u ) + f r ( v ) 2

${f_{r+1}(n)=\sum\limits_{u⋅v=n}\dfrac{f_r(u)+f_r(v)}{2}}$
其中

(u,v)(u,v) $(u,v)$ 为有序正整数对，它们并不需要互质。

有 $q$ 组询问对于给定的 $r,n$ ，Bash想知道 $f_r(n)$ 的值。由于答案可能很大，你只需要将答案对 $10^9+7$ 取模后输出即可。

$n,q,r\le 1000000$

解题思路：

显然 $f_0(n)=2^k$ ， $k$ 为 $n$ 的不同质因子个数。
注意转化： $f_{r+1}(n)=\sum\limits_{d|n}f_r(d)=f_r*1$ （狄雷克卷积）
所以 $f_r$ 都是积性函数。
我们只需将 $n$ 分解质因数，那么 $f_r(n)=\Pi\ f_r(p_i^{k_i})$
$f_r(p_i^{k_i})$ 很好算，且只与 $r,k_i$ 有关，设 $dp[r][k]$ 表示 $f_r(p^{k})$ ,
那么 $dp[r][k]=\sum\limits_{i=0}^kdp[r-1][i]$ ，边界为 $f[i][0]=1,f[0][i\ge 1]=2$

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
int getint()
{
    int i=0,f=1;char c;
    for(c=getchar();(c!='-')&&(c<'0'||c>'9');c=getchar());
    if(c=='-')c=getchar(),f=-1;
    for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())i=(i<<3)+(i<<1)+c-'0';
    return i*f;
}
void print(int x)
{
    if(x<0)putchar('-'),x=-x;
    if(x>9)print(x/10);
    putchar('0'+x%10);
}
const int N=1000005,M=25,mod=1e9+7;
int T,n,r,dp[N][M];
int main()
{
    //freopen("lx.in","r",stdin);
    dp[0][0]=1;
    for(int i=1;i<M;i++)dp[0][i]=2;
    for(int i=1;i<N;i++)
    {
        dp[i][0]=1;
        for(int j=1;j<M;j++)
            dp[i][j]=(dp[i][j-1]+dp[i-1][j])%mod;
    }
    T=getint();
    while(T--)
    {
        r=getint(),n=getint();
        ll ans=1;
        for(int i=2;i*i<=n;i++)if(n%i==0)
        {
            int x=0;
            while(n%i==0)x++,n/=i;
            ans=ans*dp[r][x]%mod;
            if(n==1)break;
        }
        if(n!=1)ans=ans*dp[r][1]%mod;
        print(ans),putchar('\n');
    }
    return 0;
}