函数极限的定义

严格定义

设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个去心邻域内有定义，即存在 $\rho >0$，使

O(x0,ρ)\{x0}⊂Df\mathbf{O} (x_0,\rho)\backslash\{x_0\}\subset D_fO(x0​,ρ)\{x0​}⊂Df​

如果存在实数 $A$，对于任意给定的 $\epsilon >0$ ，可以找到 $\delta >0$，使得当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，成立

$$|f(x)-A|<\epsilon ,$$

则称 $A$ 时函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的极限，记为

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A,\text{或},f(x)\to A(x\to x_0)$$

如果不存在具有上述性质的实数 $A$ ，则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的极限不存在。

充分必要条件

函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 极限存在的充分必要条件是 $f(x)$ 在 $x_0$ 的左极限与右极限存在且相等

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2021年9月7日20:44:12