BZOJ3944 Sum（洛谷P4213）

最新推荐文章于 2024-11-12 19:18:05 发布

forezxl

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分类专栏：洛谷 BZOJ 数论---筛法蒟蒻zxl的Blog专栏文章标签：杜教筛 BZOJ 洛谷

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本文介绍了使用杜教筛解决BZOJ3944和洛谷P4213题目的过程。通过将杜教筛的两个函数应用于题目，实现了数论函数μ(i)和φ(i)的计算。由于BZOJ题目存在卡常问题，作者参考了学长的博客来优化算法，并分享了代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

杜教筛

BZOJ题目传送门
 洛谷题目传送门

根据杜教筛的结论将两个函数分别代入：

$\mu(i):$

g (1) S (n) = \sum i = 1 n (g * μ) (i) - \sum i = 2 n g (i) S (n i)

$g(1)S(n)=\sum_{i=1}^n(g*\mu)(i)-\sum_{i=2}^ng(i)S(\frac ni)$
而

∑d|nμ(d)=e ∑ d | n μ ( d ) = e $\sum_{d|n}\mu(d)=e$

取 $g(x)=1$

则

S (n) = 1 - \sum i = 2 n S (n i)

$S(n)=1-\sum_{i=2}^nS(\frac ni)$

$\varphi(i):$

g (1) S (n) = \sum i = 1 n (g * μ) (i) - \sum i = 2 n g (i) S (n i)

$g(1)S(n)=\sum_{i=1}^n(g*\mu)(i)-\sum_{i=2}^ng(i)S(\frac ni)$
而

∑d|nφ(d)=n ∑ d | n φ ( d ) = n $\sum_{d|n}\varphi(d)=n$

取 $g(x)=x$

则

S (n) = n ( n + 1 ) 2 - \sum i = 2 n i S (n i)

$S(n)=\frac{n(n+1)}2-\sum_{i=2}^niS(\frac ni)$

分别递归算就好了。

BZOJ这道题丧病卡常，我找了学长的Blog卡了很久。。。

代码：

#include<cctype>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 4500005
#define K 100005
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned int uint;
uint n,s,t,p[N];
LL mu[N],phi[N],P[K],M[K];
bool f[N],fp[K],fm[K];
inline char readc(){
    static char buf[100000],*l=buf,*r=buf;
    if (l==r) r=(l=buf)+fread(buf,1,100000,stdin);
    if (l==r) return EOF; return *l++;
}
inline LL _read(){
    LL x=0,f=1; char ch=readc();
    while (!isdigit(ch)) { if (ch=='-') f=-1; ch=readc(); }
    while (isdigit(ch)) x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48),ch=readc();
    return x*f;
}
inline void Make(){
    mu[1]=phi[1]=1;
    for (uint i=2;i<N;i++){
        if (!f[i]) p[++s]=i,mu[i]=-1,phi[i]=i-1;
        for (uint j=1,v;j<=s&&i*p[j]<N;j++){
            f[v=i*p[j]]=true;
            if (!(i%p[j])){ mu[v]=0,phi[v]=phi[i]*p[j]; break; }
            mu[v]=-mu[i],phi[v]=phi[i]*phi[p[j]];
        }
    }
    for (uint i=2;i<N;i++) mu[i]+=mu[i-1],phi[i]+=phi[i-1];
}
LL PHI(uint x){
    if (x<N) return phi[x];
    LL ans=0,a=n/x;
    if (fp[a]) return P[a];
    for (uint l=2,r;l<=x;l=r+1)
        r=x/(x/l),ans+=(r-l+1)*PHI(x/l);
    return fp[a]=true,P[a]=1ll*x*(x+1)/2-ans;
}
LL MU(uint x){
    if (x<N) return mu[x];
    LL ans=0,a=n/x;
    if (fm[a]) return M[a];
    for (uint l=2,r;l<=x;l=r+1)
        r=x/(x/l),ans+=(r-l+1)*MU(x/l);
    return fm[a]=true,M[a]=1-ans;
}
int main(){
    t=_read(),Make();
    while (t--){
        n=_read();
        memset(fm,false,sizeof(fm));
        memset(fp,false,sizeof(fp));
        printf("%lld %lld\n",PHI(n),MU(n));
    }
    return 0;
}