BZOJ2502: 清理雪道

有源汇上下界最小流

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每个雪道都至少经过一次，那么就是所有边的上下界为$[1,+\infty)$的有源汇上下界最小流问题。
先求出有源汇上下界可行流$ans$，然后删除$ss$和$tt$的边（让流量等于容量），答案就是$ans$减去从$t$到$s$的最大流。

为什么呢？

求出的可行流不一定是最小流。如果我们在残量网络上能找到一条$s-t$的路径，使得去掉这条路径上的流量后仍然大于等于流量下限，那么我们就可以得到一个更小的流。
考虑最大流的反向边，反向边加流量就相当于正向边减流量。因此如果找出$t$到$s$的流那么就可以减小流量。为了减小最多的流量，即尽量找到$t$到$s$的流，那么跑一遍$t$到$s$的最大流即可。

代码：

#include<cctype>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 105
#define M N*(N+2)
#define F inline
#define inf 1e9
using namespace std;
struct edge{ int next,to,flow,v; }ed[M<<1];
int n,m,k,sum,s,t,ss,tt; bool f[N];
int dis[N],h[N],cp[N],A[N],que[N];
F char readc(){
    static char buf[100000],*l=buf,*r=buf;
    if (l==r) r=(l=buf)+fread(buf,1,100000,stdin);
    if (l==r) return EOF; return *l++;
}
F int _read(){
    int x=0; char ch=readc();
    while (!isdigit(ch)) ch=readc();
    while (isdigit(ch)) x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48),ch=readc();
    return x;
}
F void addedge(int x,int y,int z,int w){
    ed[k]=(edge){h[x],y,0,w-z},h[x]=k++,A[x]-=z;
    ed[k]=(edge){h[y],x,0,0},h[y]=k++,A[y]+=z;
}
F bool bfs(int s,int t){
    memset(f,false,sizeof(f));
    int r=0,w=1; f[s]=true,que[1]=s,dis[s]=0;
    while (r<w)
        for (int x=que[++r],i=h[x],v;~i;i=ed[i].next)
            if (!f[v=ed[i].to]&&ed[i].v>ed[i].flow)
                dis[v]=dis[x]+1,f[v]=true,que[++w]=v;
    return f[t];
}
int dfs(int x,int rem,int t){
    if (x==t||!rem) return rem; int sum=0;
    for (int &i=cp[x];~i;i=ed[i].next)
        if (dis[ed[i].to]==dis[x]+1){
            int p=dfs(ed[i].to,min(rem,ed[i].v-ed[i].flow),t);
            if (p) sum+=p,ed[i].flow+=p,ed[i^1].flow-=p,rem-=p;
            if (!rem) break;
        }
    return sum;
}
F int mf(int s,int t){
    int sum=0;
    while (bfs(s,t)) memcpy(cp,h,sizeof(h)),sum+=dfs(s,inf,t);
    return sum;
}
int main(){
    n=_read(),s=0,t=n+1,ss=n+2,tt=n+3;
    memset(h,-1,sizeof(h));
    for (int i=1;i<=n;i++){
        m=_read(); int x,y; if (!m) addedge(i,t,0,inf);
        while (m--) x=_read(),f[x]=true,addedge(i,x,1,inf);
    }
    for (int i=1;i<=n;i++) if (!f[i]) addedge(s,i,0,inf);
    for (int i=0;i<=n+1;i++)
        if (A[i]>0) sum+=A[i],addedge(ss,i,0,A[i]);
        else if (A[i]<0) addedge(i,tt,0,-A[i]);
    addedge(t,s,0,inf),mf(ss,tt); int ans=ed[k-2].flow;
    for (int i=h[ss];~i;i=ed[i].next) 
        ed[i].flow=ed[i].v,ed[i^1].flow=ed[i^1].v;
    for (int i=h[tt];~i;i=ed[i].next)
        ed[i].flow=ed[i].v,ed[i^1].flow=ed[i^1].v;
    ed[k-1].flow=ed[k-1].v,ed[k-2].flow=ed[k-2].v;
    return printf("%d\n",ans-mf(t,s)),0;
}