高等数学学习笔记 ☞ 洛必达法则与泰勒公式

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#洛必达法则 #泰勒公式

于 2025-01-10 23:56:24 首次发布

1. 洛必达法则

1. $\frac{0}{0}$ 型与 $\frac{\infty }{\infty }$ 型未定式（洛必达法则）

（1） $\frac{0}{0}$ 型：若函数 $f(x),g(x)$ 同时满足以下条件：（2） $\frac{\infty }{\infty }$ 型：若函数 $f(x),g(x)$ 同时满足以下条件：

①：当 $x\rightarrow a$ 时， $f(x)\rightarrow 0,g(x)\rightarrow 0$ 。 ①：当 $x\rightarrow \infty$ 时， $f(x)\rightarrow 0 ,g(x)\rightarrow 0$ 。

②：在点 $a$ 的某去心邻域内， ${f}'(x),{g}'(x)$ 存在且 ${g}'(x)\neq 0$ 。 ②：当 $|x|>N$ 时， ${f}'(x),{g}'(x)$ 存在且 ${g}'(x)\neq 0$ 。

③： $\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\frac{{f}'(x)}{{g}'(x)}$ 存在或者为无穷大。 ③： $\displaystyle\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{{f}'(x)}{{g}'(x)}$ 存在或者为无穷大。

则有： $\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\frac{{f}'(x)}{{g}'(x)}$ 。则有： $\displaystyle\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{f(x)}{g(x)}=\displaystyle\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{{f}'(x)}{{g}'(x)}$ 。

注意事项：

①：求解函数的极限时，洛必达法则可以多次重复使用，但每次使用之前需要检验是否满足洛必达法则条件。

②：函数求导之后的极限为无穷大，那么函数求导之前的极限也为无穷大。

③：函数求导之后的极限不存在(除去无穷大的情况)，那么函数求导之前的极限存在与否不确定。

④：求解函数极限时，优先考虑使用等价无穷小替换，然后再考虑其他求解方法。

⑤：使用洛必达法则求极限时，要学会配合其他方法一起使用。

2. 其他未定式：

（1） $0*\infty$ 型：此类型的