线性代数学习笔记之线性方程组

原创 2024-12-20 22:49:22 3.2k 阅读 AI写同款

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线性代数

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解线性方程组的方法 1、解线性方程组的方法大致可以分为两类：直接方法和迭代法。直接方法是指假设计算过程中不产生舍入误差，经过有限次运算可求得方程组的精确解的方法；迭代法是从解的某个近似值出发，通过构造一个无穷序列去逼近精确解的方法。 2、消去法： Gauss（高斯）消去法——是最基本的和最简单的直接方法，它由消元过程和回代过程构成，基本思想是：将方程组逐列逐行消去变量，转化为等价的上三角形方程组（消元过程）；然后按照方程组的相反顺序求解上三角形方程组，得到原方程组的解（回代过程）。优缺点：简单易行，但是要求主元均不为0，. 阅读详情

AI摘要

本文围绕线性方程组展开，介绍了其代数、矩阵、向量三种表示法，以及齐次与非齐次线性方程组的判定方法。阐述了线性方程组解的性质，详细讲解了齐次线性方程组基础解系的定义、求解、判定及性质。还说明了线性方程组解的结构，并给出了齐次与非齐次线性方程组的求解步骤。

1. 线性方程组的表示法

（1）代数表示法：

已知线性方程组如下所示：

$\left\{\begin{matrix} a_{11}x_{1}+ a_{12}x_{2} +... + a_{1n}x_{n}=b_{1} \\ a_{21}x_{1}+ a_{22}x_{2} +... + a_{2n}x_{n}=b_{2} \\ ............ \\ a_{m1}x_{1}+ a_{m2}x_{2} +... + a_{mn}x_{n}=b_{m} \end{matrix}\right.$

其中： $m$ 为方程的个数， $n$ 为未知量的个数。

1）当常数项 $b_{1}$ ， $b_{2}$ ，... $b_{m}$ 不全为零时，该线性方程组称为非齐次线性方程组。

2）当常数项 $b_{1}$ ， $b_{2}$ ，... $b_{m}$ 全为零时，该线性方程组称为齐次线性方程组。

（2）矩阵表示法：

对上述线性方程组进行矩阵化处理，记作如下：

$A=\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &...&a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} &...&a_{2n} \\ ...& ... &...& ...\\ a_{m1} &a_{m2} &...&a_{mn} \end{pmatrix}$ $x=\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ... \\ x_{n} \end{pmatrix}$ $b=\begin{pmatrix} b_{1}\\ b_{2}\\ ...\\ b_{m} \end{pmatrix}$

其中： $A$ 称为系数矩阵； $x$ 称为未知量的列向量； $b$ 称为常数项的列向量。

根据矩阵的乘法，上述线性方程组可表示为：

$\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &...&a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} &...&a_{2n} \\ ...& ... &...& ...\\ a_{m1} &a_{m2} &...&a_{mn} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ... \\ x_{n} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} b_{1}\\ b_{2}\\ ...\\ b_{m} \end{pmatrix}$

即： $Ax=b$

1）当常数项列向量不是零向量时，该线性方程组称为非齐次线性方程组。

即： $Ax=b$

2）当常数项列向量是零向量时，该线性方程组称为齐次线性方程组。

即： $Ax=0$

（3）向量表示法：

将系数矩阵A按列分块，即 $A= (\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{n})$ ，根据向量的运算，则有：

$\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+...+\alpha _{n}x_{n}=b$

其中 $\alpha _{1}$ ， $\alpha _{2}$ ，... $\alpha _{n}$ 为系数矩阵A的列向量组， $\alpha _{i}$ 、 $b$ 表示如下：

$\alpha _{1}=\begin{pmatrix} a_{11}\\ a_{21}\\ ...\\ a_{m1} \end{pmatrix}$ $\alpha _{2}=\begin{pmatrix} a_{12}\\ a_{22}\\ ...\\ a_{m2} \end{pmatrix}$ $...\alpha _{n}=\begin{pmatrix} a_{1n}\\ a_{2n}\\ ...\\ a_{mn} \end{pmatrix}$ $b=\begin{pmatrix} b_{1}\\ b_{2}\\ ...\\ b_{m} \end{pmatrix}$

1）当常数项列向量不是零向量时，该线性方程组称为非齐次线性方程组。

即： $\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+...+\alpha _{n}x_{n}=b$

2）当常数项列向量是零向量时，该线性方程组称为齐次线性方程组。

即： $\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+...+\alpha _{n}x_{n}=0$

备注：

①： $\bar{A}$ 称为增广矩阵，如下所示：

$\bar{A}=(A,b)=\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &...&a_{1n}& \vdots &b_{1} \\ a_{21} &a_{22} &...&a_{2n} &\vdots &b_{2}\\ ...& ... &...& ....&\vdots &...\\ a_{m1} &a_{m2} &...&a_{mn}&\vdots &b_{m} \end{pmatrix}$

②：若 $Ax=b$ $\rightarrow$ $Ax=0$ ，则称齐次线性方程组为非齐次线性方程组的导出组。

2. 线性方程组的解的判定

（1）线性方程组的初等变换：

遵循原则：1）交换两个方程的位置；

2）方程两端同时乘以数 $k$ ( $k$ ≠ 0)；

3）某方程两端的 $l$ 倍加到另一个方程上。

备注：线性方程组的初等变换就是解线性方程组时所用的高斯消元法。

线性方程组的初等变换等价于矩阵的初等行变换，即：

遵循原则：1）交换矩阵的两行；

2）用数 $k$ ( $k$ ≠ 0)乘以矩阵某一行的所有元素；

3）把矩阵某一行所有元素的 $l$ 倍加到另一行对应的元素上。

备注：解线性方程组时，对 $\bar{A}$ 、 $A$ 只做初等行变换。

（2）非齐次线性方程组的解的判定：

1）若r( $A$ ) ≠ r( $\bar{A}$ )，则方程组无解；

2）若r( $A$ ) = r( $\bar{A}$ )，则方程组有解；

①：r( $A$ ) = r( $\bar{A}$ ) = $n$ (三个条件同时满足)，则方程组有唯一解。

②：r( $A$ ) = r( $\bar{A}$ ) < $n$ (三个条件同时满足)，则方程组有无穷多解。

备注：

①： $n$ 是未知量的个数；

②：判断方程组是否有解，就看画阶梯线时，在虚线处是否有拐弯，拐了就无解，反之有解。

（3）齐次线性方程组的解的判定：

1）齐次线性方程组不可能出现r( $A$ ) ≠ r( $\bar{A}$ )的情况，而是r( $A$ ) = r( $\bar{A}$ )；

2）齐次线性方程组一定有解，至少有零解；

①：若r( $A$ ) = $n$ ，则齐次线性方程组只有零解。

即： $Ax=0$ 只有零解 $\Leftrightarrow$ 向量组 $\alpha_{1},\alpha_{2},...\alpha_{n}$ 线性无关。

$\Leftrightarrow$ $r(\alpha_{1},\alpha_{2},...\alpha_{n}) =n$ 。

$\Leftrightarrow$ $r(A)=n$ 。

②：若r( $A$ ) < $n$ ，则齐次线性方程组有非零解。

即： $Ax=0$ 有非零解 $\Leftrightarrow$ 向量组 $\alpha_{1},\alpha_{2},...\alpha_{n}$ 线性相关。

$\Leftrightarrow$ $r(\alpha_{1},\alpha_{2},...\alpha_{n}) <n$ 。

$\Leftrightarrow$ $r(A)<n$ 。

备注：

1. 对于齐次线性方程组 $Ax=0$ ，若方程的个数小于未知量的个数( $m<n$ )，则 $Ax=0$ 肯定有非零解。

证明：因 $r(A) \leq min(m,n)$ ，若 $m<n$ ，则有 $r(A)\leq m$ ，即 $r(A)<n$ 。

2. 对于齐次线性方程组 $Ax=0$ ，若方程的个数等于未知量的个数( $m=n$ )(即系数矩阵A为方阵)，则：

①： $Ax=0$ 有非零解 $\Leftrightarrow$ |A| = 0。 $\Leftarrow$ $r(A)< n$ 。

②： $Ax=0$ 只有零解 $\Leftrightarrow$ |A| ≠ 0。 $\Leftarrow$ $r(A)= n$ ，克拉默法则。

3. 线性方程组的解的性质

（1）齐次线性方程组的解的性质：

1）若 $\xi _{1}$ ， $\xi _{2}$ 是齐次线性方程组 $Ax=0$ 的解，则 $\xi _{1}$ ± $\xi _{2}$ 也是 $Ax=0$ 的解。

2）若 $\xi$ 是齐次线性方程组 $Ax=0$ 的解，则对任意常数 $k$ ， $k\xi$ 也是 $Ax=0$ 的解。

3）若 $\xi _{1}$ ， $\xi _{2}$ ，... $\xi _{n}$ 是齐次线性方程组 $Ax=0$ 的解，则它们的线性组合 $c_{1}\xi _{1}$ ± $c_{2}\xi _{2}$ ±...± $c_{n}\xi _{n}$ ( $c_{i}$ 为任意常数)也是 $Ax=0$ 的解。

（2）非齐次线性方程组的解的性质：( $Ax=b$ $\rightarrow$ $Ax=0$ )

1）若 $\eta _{1}$ ， $\eta _{2}$ 是非齐次线性方程组 $Ax=b$ 的解，则 $\eta _{1}$ - $\eta _{2}$ 是对应导出组 $Ax=0$ 的解。

2）若 $\eta$ 是非齐次线性方程组 $Ax=b$ 的解， $\xi$ 是对应导出组 $Ax=0$ 的解，则 $\eta$ + $\xi$ 是 $Ax=b$ 的解。

3）若 $\eta^{*}$ 是非齐次线性方程组 $Ax=b$ 的解， $\xi$ 是对应导出组 $Ax=0$ 的解，则 $Ax=b$ 的任一解可表示为 $\eta^{*}$ + $\xi$ 。

小贴士：线性方程组若是有解，解是一组的一组的，一般写成列向量的形式，称为解向量。

4. 齐次线性方程组的基础解系

（1）定义：齐次线性方程组 $Ax=0$ 的解向量构成一个向量组，从中取出部分组 $\xi _{1}$ ， $\xi _{2}$ ，... $\xi _{s}$ ，若部分组满足：

①： $\xi _{1}$ ， $\xi _{2}$ ，... $\xi _{s}$ 是线性无关的；

②：方程组 $Ax=0$ 的任一解向量(向量组中的任一向量)都可以由 $\xi _{1}$ ， $\xi _{2}$ ，... $\xi _{s}$ 线性表示；

则称 $\xi _{1}$ ， $\xi _{2}$ ，... $\xi _{s}$ 是齐次线性方程组 $Ax=0$ 的一个基础解系。

（2）基础解系的求解过程：

1）如何求解基础解系：

$eg:\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}+x_{3}+4x_{4}-3x_{5} = 0\\ x_{1}-x_{2}+3x_{3}-2x_{4}-x_{5} = 0\\ 2x_{1}+x_{2}+3x_{3}+5x_{4}-5x_{5} = 0\\ 3x_{1}+x_{2}+5x_{3}+6x_{4}-7x_{5} = 0 \end{matrix}\right.$

①：首先对齐次线性方程组系数矩阵A只进行初等行变换，化成行简化阶梯形矩阵B：

$A=\begin{pmatrix} 1 &1 & 1& 4&-3 \\ 1 &-1 & 3 &-2 &-1 \\ 2 & 1& 3 & 5& -5\\ 3 & 1 & 5 & 6 & -7 \end{pmatrix}\overset{RowChange}{\rightarrow}\begin{pmatrix} 1 & 0 &2 &1 &-2 \\ 0 & 1& -1& 3& -1\\ 0& 0& 0&0 &0 \\ 0& 0& 0 &0 & 0 \end{pmatrix}=B$

②：根据行简化阶梯形矩阵B获取同解方程组：

$B\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_{1}+2x_{3}+x_{4}-2x_{5} = 0\\ x_{2}-x_{3}+3x_{4}-x_{5} = 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{1}=-2x_{3}-x_{4}+2x_{5}\\ x_{2}=-x_{3}-3x_{4}+x_{5} \end{matrix}\right.$

小贴士：同解方程组分析：

①：同解方程组有 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ， $x_{5}$ 5个未知量，2个放在等号左边，3个放在等号右边。

②：等号左边未知量的个数就是 (行简化阶梯形矩阵非零行的行数 = 系数矩阵的秩r(A))。

③：等号右边未知量的个数(自由未知量的个数) 就是未知量总数 $n$ - r(A)。

③：取 $(x_{3},x_{4},x_{5})^{T}$ 的值分别为 $(1,0,0)^{T}$ ， $(1,0,0)^{T}$ ， $(1,0,0)^{T}$ ，可得方程组 $Ax=0$ 的基础解系：

$\eta _{1}=\begin{pmatrix} -2\\ 1\\ 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix},\eta _{2}=\begin{pmatrix} -1\\ -3\\ 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix},\eta _{3}=\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}$ .

小贴士： $(x_{3},x_{4},x_{5})^{T}$ 的取法：

①： $x_{3}$ ， $x_{4}$ ， $x_{5}$ 的值是可以随便取的，但基础解系所包含的解向量是线性无关的，所以取值后要保证解向量之间是线性无关的。

②：而基本(初始)单位向量组之间是线性无关的，以及若向量组线性无关，则分量接长(内嵌)向量组也线性无关，

所以 $(x_{3},x_{4},x_{5})^{T}$ 的值一般取基本(初始)单位向量组。

③： $(x_{3},x_{4},x_{5})^{T}$ 中的 $x_{3}$ ， $x_{4}$ ， $x_{5}$ 的值不是固定的，但要保证是由基本(初始)单位向量组的值转化的。

小贴士：证明 $\eta _{1}$ ， $\eta _{2}$ ， $\eta _{3}$ 是方程组 $Ax=0$ 基础解系(从定义出发)：

①： $\eta _{1}$ ， $\eta _{2}$ ， $\eta _{3}$ 是线性无关的：

因为： $(x_{3},x_{4},x_{5})^{T}$ 所取的三个列向量 $(1,0,0)^{T}$ ， $(1,0,0)^{T}$ ， $(1,0,0)^{T}$ 是线性无关的；

又知：若向量组线性无关，则分量接长(内嵌)向量组也线性无关；

所以： $\eta _{1}$ ， $\eta _{2}$ ， $\eta _{3}$ 是线性无关的。

②：方程组 $Ax=0$ 的任意解向量都可以由 $\eta _{1}$ ， $\eta _{2}$ ，... $\eta _{3}$ 线性表示：

$\begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\\ x_{4}\\ x_{5} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2x_{3}-x_{4}+2x_{5}\\ x_{3}-3x_{4}+x_{5}\\ x_{3}+0x_{4}+0x_{5}\\ 0x_{3}+x_{4}+0x_{5}\\ 0x_{3}+0x_{4}+x_{5} \end{pmatrix}= x_{3}\begin{pmatrix} -2\\ 1\\ 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}+ x_{4}\begin{pmatrix} -1\\ -3\\ 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}+x_{5}\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}$

即：任意解向量都可以由 $\eta _{1}$ ， $\eta _{2}$ ，... $\eta _{3}$ 线性表示。

2）基础解系中解向量的个数：

基础解系包含的解向量的个数就是自由未知量的个数。

备注：自由未知量：就是同解方程组等号右边的未知量，即 $x_{3}$ ， $x_{4}$ ， $x_{5}$ 。 $n$

3）齐次线性方程组 $Ax=0$ 的通解：

即： $x= c_{1 }\eta_{1}+c_{2 }\eta_{2}+c_{3 }\eta_{3}$ .

备注：由基础解系定义可知：齐次线性方程组的任一解向量都可以由基础解系 $\xi _{1}$ ， $\xi _{2}$ ，... $\xi _{s}$ 线性表示。

（3）基础解系的判定：

向量组 $\xi _{1}$ ， $\xi _{2}$ ，... $\xi _{s}$ 是 $n$ 元齐次线性方程组 $Ax=0$ 的基础解系 $\Leftrightarrow$

①： $\xi _{1}$ ， $\xi _{2}$ ，... $\xi _{s}$ 是 $Ax=0$ 的解向量；

②： $\xi _{1}$ ， $\xi _{2}$ ，... $\xi _{s}$ 是线性无关的；

③：向量组 $\xi _{1}$ ， $\xi _{2}$ ，... $\xi _{s}$ 中向量的个数 $s$ = $n$ - r(A)。

注：上述条件①②③同时满足。

（4）基础解系的性质：

1）对于 $n$ 元齐次线性方程组 $Ax=0$ ，若r(A) = $r$ < $n$ ，则 $Ax=0$ 一定存在基础解系，且基础解系中含有 $n$ - $r$ 个解向量。

2）当 $Ax=0$ 有非零解时，基础解系存在。

3）若 $Ax=0$ 的基础解系存在，则基础解系不唯一。

4） $Ax=0$ 的不同基础解系之间可以相互线性表示。

5） $Ax=0$ 的不同基础解系中所含向量的个数相等，均为 $n$ - $r$ 个。

6） $Ax=0$ 的任意 $n$ - $r$ 个线性无关的解向量都是它的基础解系。

5. 线性方程组的解的结构

（1）齐次线性方程组的解的结构：

对于 $n$ 元齐次线性方程组 $Ax=0$ ，若r(A) = $r$ < $n$ ， $\xi _{1}$ ， $\xi _{2}$ ，... $\xi _{n-r}$ 为 $Ax=0$ 的一个基础解系，

则齐次线性方程组 $Ax=0$ 的通解可表示为：

$x= c_{1 }\xi _{1}+c_{2 }\xi_{2}+...+c_{n-r }\xi_{n-r}$ .

其中： $c _{1}$ ， $c _{2}$ ，... $c _{n-r}$ 为任意常数。

备注：由于基础解系不唯一，故通解的形式也不唯一，但可以表示方程组任一解。

（2）非齐次线性方程组的解的结构：

对于 $n$ 元非齐次线性方程组 $Ax=b$ ，若r( $A$ ) ≠ r( $\bar{A}$ ) = $r$ < $n$ ，如果 $\alpha _{0}$ 是 $Ax=b$ 的一个解(通常称为特解)， $\xi _{1}$ ， $\xi _{2}$ ，... $\xi _{n-r}$ 为

导出组 $Ax=0$ 的一个基础解系，则非齐次线性方程组 $Ax=b$ 的通解可表示为：

$x=\alpha _{0}+c_{1 }\xi _{1}+c_{2 }\xi_{2}+...+c_{n-r }\xi_{n-r}$ .

其中： $c _{1}$ ， $c _{2}$ ，... $c _{n-r}$ 为任意常数。

备注：用【 $Ax=b$ 的特解 + 导出组 $Ax=0$ 的通解】来表示 $Ax=b$ 的通解。

6. 线性方程组的求解

（1）齐次线性方程组求解：

利用初等行变换法求解 $n$ 元齐次线性方程组 $Ax=0$ ，步骤如下：

①：写出方程组 $Ax=0$ 的系数矩阵A，利用初等行变换，把系数矩阵A化成行简化阶梯形矩阵，求出系数矩阵A的秩。

若r(A) = $n$ ，则 $Ax=0$ 只有零解；若r(A) < $n$ ，则 $Ax=0$ 有非零解。

②：以行简化阶梯形矩阵为系数矩阵写出同解方程组，求出 $Ax=0$ 的一个基础解系。

③：根据解的结构，写出方程组 $Ax=0$ 的通解。

（2）非齐次线性方程组求解：

利用初等行变换法求解 $n$ 元非齐次线性方程组 $Ax=b$ ，步骤如下：

①：写出方程组 $Ax=b$ 的增广矩阵 $\bar{A}$ ，利用初等行变换，把增广矩阵 $\bar{A}$ 化成行简化阶梯形矩阵，求出系数矩阵A与增广矩阵 $\bar{A}$ 的秩。

判定方程组 $Ax=b$ 是否有解及解的个数。

②：在有解的情况下，以行简化阶梯形矩阵为增广矩阵写出同解方程组，求出 $Ax=b$ 的一个特解。

③：以行简化阶梯形矩阵为系数矩阵写出同解方程组，求出导出组 $Ax=0$ 的一个基础解系。

④：根据解的结构，写出方程组 $Ax=b$ 的通解。

备注：非齐次线性方程组求解过程：

$eg:\left\{\begin{matrix} x_{1}+5x_{2}-x_{3}-x_{4} = -6\\ x_{1}-2x_{2}+x_{3}+3x_{4} = 0\\ 3x_{1}+8x_{2}-x_{3}+x_{4} = -12\\ x_{1}-9x_{2}+3x_{3}+7x_{4} = 6 \\ 2x_{1}-11x_{2}+4x_{3}+10x_{4} = 6 \end{matrix}\right.$

①：首先对非齐次线性方程组增广矩阵 $\bar{A}$ 只进行初等行变换，化成行简化阶梯形矩阵B：

$\bar{A}=\begin{pmatrix} 1 &5 & -1& -1&\vdots &-6 \\ 1 &-2 & 1 &3 &\vdots &0 \\ 3 & 8& -1 & 1&\vdots & -12\\ 1 & -9 & 3 & 7 &\vdots & 6 \\ 2 & -11 & 4 & 10 & \vdots &6 \end{pmatrix}$ $\overset{RowChange}{\rightarrow}\begin{pmatrix} 1 & 0 &\frac{3}{7} &\frac{13}{7}&\vdots &-\frac{12}{7} \\ 0 & 1&- \frac{2}{7} &-\frac{4}{7}&\vdots & -\frac{6}{7} \\ 0& 0& 0&0&\vdots &0 \\ 0& 0& 0 &0&\vdots & 0 \\ 0& 0& 0 &0 &\vdots& 0 \end{pmatrix}=B$

②：根据行简化阶梯形矩阵B获取同解方程组：

$B\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_{1}+\frac{3}{7}x_{3}+\frac{13}{7}x_{4} =- \frac{12}{7}\\ x_{2}-\frac{2}{7}x_{3}-\frac{4}{7}x_{4} = -\frac{6}{7} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{1}=- \frac{12}{7}-\frac{3}{7}x_{3}-\frac{13}{7}x_{4}\\ x_{2}=-\frac{6}{7}+\frac{2}{7}x_{3}+\frac{4}{7}x_{4} \end{matrix}\right.$

③：取 $(x_{3},x_{4})^{T}$ 的值为 $(0,0)^{T}$ ，可得方程组 $Ax=b$ 的特解为：

$\alpha _{0}=\begin{pmatrix} -\frac{12}{7}, -\frac{6}{7}, 0, 0 \end{pmatrix}^{T}$

注： $x_{3}$ ， $x_{4}$ 的值随便取，一般取零，把常数项作为特解。

④：【接下来同 $Ax=0$ 的基础解系求解过程②~③】可得导出组 $Ax=0$ 的基础解系：

$\eta _{1}=\begin{pmatrix} -3\\ 2\\ 7\\ 0 \end{pmatrix},\eta _{2}=\begin{pmatrix} -13\\ 4\\ 0\\ 7 \end{pmatrix}$

⑤：非齐次线性方程组 $Ax=b$ 的通解：

即： $x=\alpha _{0}+ c_{1 }\eta_{1}+c_{2 }\eta_{2}$