高等数学学习笔记 ☞ 定积分的积分方法

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#定积分 #换元积分法 #分部积分法 #无穷限的反常积分 #有界函数的反常积分

于 2025-01-20 17:45:47 首次发布

1. 定积分的换元积分法

1. 换元积分公式：设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，令 $x=\psi (t)$ ，若 $x=\psi (t)$ 满足：

①：当 $t=\alpha$ 时， $\psi (\alpha)=a$ ；当 $t=\beta$ 时， $\psi (\beta)=b$ 。

$\rightarrow$ 此时的 $\alpha ,\beta$ 大小关系不一定，但 $\alpha ,\beta$ 与 $a,b$ 最好对应着写，否则就要留意变号的问题。

②： $\psi (t)$ 在闭区间 $[\alpha,\beta]$ 或 $[\beta,\alpha]$ 上连续可导，且 $\psi (t)$ 的值域 $R_{\psi }=[a,b]$ 。

$\rightarrow$ 之所以说 $[\alpha,\beta]$ 或 $[\beta,\alpha]$ ，是因为区间左边的值肯定要小于等于区间右边的值。

则： $\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta}f(\psi (t)){\psi }'(t)dx$ 。

2. 举例说明：

（1）求解 $\int_{0}^{a}\sqrt{a^{2}-x^{2}}dx(a>0)$ 的定积分：

解：令 $x=a\sin t$ ，则 $dx=a\cos tdt$ ，其中：当 $x:0\rightarrow a$ 时， $t:0\rightarrow\frac{ \pi}{2}$ 。则：

$\int_{0}^{a}\sqrt{a^{2}-x^{2}}dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{a^{2}-a^{2}\sin^{2}t}\cdot a\cos tdt=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}a^{2}\cos^{2}tdt=$ $\frac{a^{2}}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1+\cos 2t)dt$

$= \frac{a^{2}}{2}(t|_{0}^{\frac{\pi}{2}}+\frac{1}{2}\sin 2t|_{0}^{\frac{\pi}{2}})=\frac{1}{4}\pi a^{2}$ 。

备注：上述例子属于第二换元积分法。换元后，积分区间是针对积分变量 $t$ 而言的。

小贴士：第二换元积分法求解定积分时，不需要进行回代，因为在换元之后，积分区间已经更改过了。

（2）求解 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{5}x\sin xdx$ 的定积分：

解： $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{5}x\sin xdx=-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{5}xd\cos x=-\frac{\cos ^{6}x}{6}|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{1}{6}$

备注：上述例子属于第一换元积分法。换元前，积分区间实际上是针对积分变量 $x$ 而言的，而不是 $\cos x$ 。

小贴士：第一换元积分法求解定积分时，以上述例子进行说明：

正规解法：当求解到 $-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{5}xd\cos x$ 时，令 $t=\cos x$ ，其中：当 $x:0\rightarrow\frac{ \pi}{2}$ 时， $t:1\rightarrow 0$ 。则：

$-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{5}xd\cos x=-\int_{1}^{0}t^{5}dt=-\frac{1}{6}t^{6}|_{1}^{0}=\frac{1}{6}$ 。

实际解题时，基本都是不进行替换这一步的，而是直接把 $\cos x$ 看成一个整体进行求解，同时积分区间不变。

（3）求解 $\int_{0}^{\pi}\sqrt{\sin^{3}x-\sin^{5}x}dx$ 的定积分：

解： $\int_{0}^{\pi}\sqrt{\sin^{3}x-\sin^{5}x}dx=\int_{0}^{\pi}\sin ^{\frac{3}{2}}x|\cos x|dx=$ $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin ^{\frac{3}{2}}x\cos xdx-\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\sin ^{\frac{3}{2}}x\cos xdx=$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin ^{\frac{3}{2}}xd\sin x-\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\sin ^{\frac{3}{2}}xd\sin x=$

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