高等数学学习笔记 ☞ 一元函数微分的基础知识

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#微分 #中值定理

于 2025-01-08 23:03:11 首次发布

1. 微分的定义

（1）定义：设函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某领域内有定义，取 $x_{0}$ 附近的点 $x_{0}+\Delta x$ ，对应的函数值分别为 $f(x_{0})$ 和 $f(x_{0}+\Delta x)$ ，

令 $\Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})$ ，若 $\Delta y$ 可以表示成 $\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$ ，则称函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 是可微的。

【 $\Rightarrow$ 若函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 是可微的，则 $\Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})$ 可以表达为 $\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$ 】

称 $A\Delta x$ 为函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处，改变量 $\Delta y$ 的微分。记作：可微： $dy=A\Delta x$ ；微分： $dy|_{x=x_{0}}=A\Delta x$ 。

备注：

①：通过绘图理解： $A$ 是与

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