高等数学学习笔记 ☞ 微分方程

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于 2025-01-24 20:24:12 发布 · 2.5k 阅读

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#微分方程 #一阶微分方程 #高阶微分方程

1. 微分方程的基本概念

1. 微分方程的基本概念：

（1）微分方程：含有未知函数及其导数或微分的方程。

举例说明微分方程： ${y}'+y+x=0$ ； $xdy=ydx$ 。

（2）微分方程的阶：指微分方程中未知函数的导数的最高阶数。

举例说明微分方程的阶数：一阶微分方程： ${y}'$ ， $({y}')^{2}$ ；二阶微分方程： ${y}''$ ， ${y}''{y}'$ 。

（3）微分方程的解：就是把一个函数代入微分方程使其成立，那么这个函数就是微分方程的解。

（4）微分方程的通解：它是微分方程的解，该解具有《解里边含有任意常数的个数等于微分方程的阶数》特性。

举例说明微分方程的通解： ${y}'=e^{x}\rightarrow y=e^{x}+C$ ； ${y}''=e^{x}\rightarrow y=e^{x}+C_{1}x+C_{2}$ 。

（5）微分方程的特解：将给定的初始条件代入微分方程的通解，求解任意常数后的通解，称为微分方程的特解。

举例说明微分方程的特解：已知初始条件： $y(0)=1,y(1)=2$ ，微分方程 ${y}''=e^{x}$ 的通解为： $y=e^{x}+C_{1}x+C_{2}$ ，

将初始条件代入通解，可得： $C_{1}=2-e,C_{2}=0$ ，则特解为 $y=e^{x}+(2-e)x$ 。

（6）解微分方程：就是找出未知函数的过程。

2. 微分方程的分类：

（1）根据微分方程中所含有的自变量的个数分类：

①：常微分方程：指微分方程中只包含一个自变量的方程，如： $y=f(x)$ 。

②：偏微分方程：指微分方程中包含两个或两个以上自变量的方程，如： $z=f(x,y)$ 。

备注：偏微分方程里边含有偏导数，如 $y{z}'_{x}+x{z}'_{y}=0$ 。

（2）根据微分方程中未知函数及其导数之间的关系分类：

①：线性微分方程：指未知函数及其导数呈线性关系。如： $3{y}''+e^{x}{y}'+y=0$ 。

②：非线性微分方程：指未知函数及其导数不呈线性关系。如 $3{y}''y+e^{x}{y}'+y=0$ ； ${y}'+2^{y}=0$ 。

备注：微分方程的线性与非线性与线性代数中的线性与非线性是有区别的。

2. 一阶微分方程

2.1 可分离变量的微分方程

1. 定义：就是指自变量和因变量可以分离开来的微分方程。可转化为形如 $M(x)dx=N(y)dy$ 类型的等式。

说明：①： $M(x)$ ：与 $x$ 相关的式子； $N(y)$ ：与 $y$ 相关的式子。

②：等式两端同时取不定积分，即： $\int M(x)dx=\int N(y)dy$ ，再进一步进行求解即可。

2. 举例说明：

（1）求微分方程 $\frac{1}{x}dx=\frac{1}{y}dy$ 的通解：

解：等式两端同时取不定积分，可得： $\int \frac{1}{x}dx=\int \frac{1}{y}dy$ 。

求解等式两端的不定积分可得： $\ln |x|=\ln |y|-C_{1}\Rightarrow \ln |y|-\ln |x|=C_{1}\Rightarrow \ln |\frac{y}{x}|=C_{1}$ 。

等式两端同时取 $e$ 的指数，整理得： $y=\pm e^{c_{1}}x$ 。

进一步整理可得： $y=Cx$ 。

备注：求解微分方程时，根据实际情况适当的对 $C$ 进行处理，如 $\ln |y|=\ln |x|+\ln |C|\Rightarrow y=Cx$ 。

（2）求微分方程 $x(y+1)dx=y(x+1)dy$ 的通解：

解：方程两端同时除以 $(x+1)(y+1)$ ，然后等式两端同时取不定积分，可得： $\int \frac{x}{x+1}dx=\int \frac{y}{y+1}dy$ 。

求解等式两端的不定积分可得： $x-\ln|x+1|=-y+\ln |y+1|+C$ 。

进一步整理可得微分方程的解： $x+y-\ln|x+1|-\ln |y+1|=C$ 。

注意：当最等式两端做除法运算时，需要考虑相应的定义(验证通解是否包含特殊情况)，即：

当同时除以 $(x+1)(y+1)$ 时，默认是 $x\neq -1,y\neq -1$ 的，那么此时就需要验证 $x= -1,y= -1$ 是否是

微分方程的解。将 $x= -1,y= -1$ 代入微分方程可知，等式成立，故 $x= -1,y= -1$ 也是微分方程的解。

备注：求解微分方程时不要漏解，一般要求最终整理出来的式子不要带分式。

2.2 齐次微分方程

1. 定义：就是指自变量和因变量作为一个整体出现且次数相等的微分方程。可转化为形如 $\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})$ 或 $\frac{dx}{dy}=g(\frac{x}{y})$ 类型的等式。

说明： $\frac{dy}{dx}$ 表明： $x$ 是自变量和 $y$ 是因变量； $\frac{dx}{dy}$ 表明： $y$ 是自变量和 $x$ 是因变量。

2. 举例说明：

（1）求微分方程 $(x^{3}+y^{3})dx-3xy^{2}dy=0$ 的通解(固定解法，三步走)：

解：方程两端同时除以 $x^{3}$ ，整理可得： $\frac{dy}{dx}=\frac{1+(\frac{y}{x})^{3}}{3(\frac{y}{x})^{2}}$ 。①

三步走：令 $\frac{y}{x}=u$ ，则 $y=xu,\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$ 。②

②带入①上式可得： $u+x\frac{du}{dx}=\frac{1+u^{3}}{3u^{2}}\Rightarrow\frac{3u^{2}}{1-2u^{3}}du=\frac{1}{x}dx$ 。

对上式方程两端同时取不定积分并整理可得： $-\frac{1}{2}\ln |1-2u^{3}|=\ln |x|+C_{1}\Rightarrow x\sqrt{1-2u^{3}}=C_{2}$ 。

进行回代可得： $x\sqrt{1-2(\frac{y}{x})^{3}}=C_{2}\Rightarrow 2y^{3}=x^{3}-Cx$ 。

（2）求微分方程 $\frac{dx}{dy}=\frac{2e^{\frac{x}{y}}(\frac{x}{y}-1)}{1+2e^{\frac{x}{y}}}$ 的通解(固定解法，三步走)：

解：三步走：令 $\frac{x}{y}=u$ ，则 $x=yu,\frac{dx}{dy}=u+y\frac{du}{dy}$ 。

将上式带入微分方程可得： $u+y\frac{du}{dy}=\frac{2e^{u}(u-1)}{1+2e^{u}}\Rightarrow \frac{1+2e^{u}}{2e^{u}+u}du=-\frac{1}{y}dy$ 。

对上式方程两端同时取不定积分并整理可得： $\ln |u+2e^{u}|+\ln|y|=\ln |C|\Rightarrow y(u+2e^{u})=C$ 。

进行回代可得： $y(\frac{x}{y}+2e^{\frac{x}{y}})=C\Rightarrow x+2ye^{\frac{x}{y}}=C$ 。