高等数学学习笔记 ☞ 定积分与积分公式

原创

已于 2025-01-19 13:59:20 修改 · 2k 阅读

·

19

·

CC 4.0 BY-SA版权

版权声明：本文为博主原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接和本声明。

文章标签：

#定积分 #变上限积分函数 #牛顿 - 莱布尼茨公式

于 2025-01-18 20:13:22 首次发布

1. 定积分的基本概念

1.1 定积分的定义

1. 定义：设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上有界。在闭区间 $[a,b]$ 上任意插入若干个分点，即 $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}...<x_{n-1}<x_{n}=b$ ，

此时每个小区间的长度记作 $\Delta x_{i}$ (不一定是等分的)。然后在每个小区间上任意取 $\xi_{i}\in [x_{i-1},x_{i}]$ ，对应的函数值为 $f(\xi _{i})$ 。

为保证每段 $f(\xi _{i})\Delta x_{i}$ 的值(即矩形面积)无限接近于函数 $f(x)$ 与该区间段所围成的面积，设 $\lambda =\max(\Delta x_{1},\Delta x_{2},...,\Delta x_{n})$ 。

若 $\displaystyle \lim_{\lambda \rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi _{i})\Delta x_{i}$ 存在，且该极限与小区间的分法和 $\xi_{i}$ 的取法无关，那么称 $\displaystyle \lim_{\lambda \rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi _{i})\Delta x_{i}$ 为函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$

上的定积分，记作 $\int_{a}^{b}f(x)dx=\displaystyle \lim_{\lambda \rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi _{i})\Delta x_{i}$ 。

其中： $[a,b]$ ：积分区间。 $a$ ：积分下限。 $b$ ：积分上限。其中积分下限与积分上限无大小关系。

$f(x)$ ：被积函数，表明对哪个函数求定积分。 $x$ ：积分变量，表明对哪个变量求定积分。 $f(x)dx$ ：被积式。

说明：定积分与被积函数和积分区间有关，与积分变量用什么符号表示无关。

2. 可积条件：

（1）若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，则函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上可积。

（2）若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上有界，当只有有限个间断点时，则函数 $f(x)$ 在闭区间

最低0.47元/天解锁文章

评论

成就一亿技术人!

拼手气红包6.0元

还能输入1000个字符 | 博主筛选后可见

添加红包

插入表情

表情包

代码片

HTML/XML
objective-c
Ruby
PHP
C
C++
JavaScript
Python
Java
CSS
SQL
其它

条评论被折叠查看

被折叠的条评论为什么被折叠?

到【灌水乐园】发言

查看更多评论

添加红包

成就一亿技术人!

hope_wisdom

发出的红包

实付元

使用余额支付

点击重新获取

扫码支付

钱包余额 0

抵扣说明：

1.余额是钱包充值的虚拟货币，按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载，可以购买VIP、付费专栏及课程。