数学分析复习：洛必达法则、泰勒公式

本篇文章适合个人复习翻阅，不建议新手入门使用

洛必达法则

命题：L’Hopital（洛必达）法则
设 $f,g$ 是区间 $(a,b)$ 上的实值可微函数，假设 $f(x),g(x)=o(x-a)$，即
$$\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=0,\underset{x\to a^{+}}{\lim }g(x)=0$$

设对任意 $x\in (a,b),g^{\prime }(x)\ne 0$，若极限 $\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ 存在，则
$$\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$$

证明（Cauchy中值定理）
由于 $f,g$ 在区间 $[a,x]$ 上连续并且在 $(a,x)$ 上可微，由 Cauchy中值定理，存在 $\xi (x)\in (a,x)$，使得
$$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi (x))}{g^{\prime }(\xi (x))}$$

由于 $a<\xi (x)<x$，当 $x\to a^{+}$ 时，则有
lim ⁡ x → a + f ( x ) g ( x ) = lim ⁡ x → a + f ′