线性代数学习笔记之行列式

原创已于 2024-12-20 22:50:32 修改 · 3.5k 阅读

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#线性代数 #学习 #笔记

于 2024-11-19 18:07:19 首次发布

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1. 二阶三阶行列式

1.1 行列式的引入

定义一个二元一次方程组：

$eg: \left\{\begin{matrix} 3x+4y=5(1)\\ 7x+9y=11(2) \end{matrix}\right.$

（1）求解 x 消 y：将方程(1)两边同时乘以9，方程(2)两边同时乘以4，可得：

$eg: \left\{\begin{matrix} 3*9x+4*9y=5*9\\ 7*4x+9*4y=11*4\end{matrix}\right.$

解得： $x=\frac{5*9-11*4}{3*9-7*4}$

（2）求解 y 消 x：将方程(1)两边同时乘以7，方程(2)两边同时乘以3，可得：

$eg:\left\{\begin{matrix} 3*7x+4*7y=5*7\\ 7*3x+9*3y=11*3 \end{matrix}\right.$

解得： $y=\frac{5*7-11*3}{4*7-9*3}$

（3）观察x，y的结果，为了使结果表达的更清晰些，故定义了一个规则，规则如下：

$x=\frac{5*9-11*4}{3*9-7*4}=\frac{\begin{vmatrix} 5 & 11\\ 4 & 9 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 3 & 7\\ 4 & 9 \end{vmatrix}}=\frac{\begin{vmatrix} 5 &4 \\ 11 & 9 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 3 & 4\\ 7 & 9 \end{vmatrix}}$ $y=\frac{5*7-11*3}{4*7-9*3}=\frac{\begin{vmatrix} 5 & 11\\ 3 & 7 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 4 & 9\\ 3 & 7 \end{vmatrix}}=\frac{\begin{vmatrix} 3 & 5\\ 7 & 11 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 3 & 4\\ 7 & 9 \end{vmatrix}}$

小贴士：行列式用D表示，即英文Determinant的首字母。

1.2 二阶行列式

（1）定义：由 2行 2列 4个元素构成的式子。

（2）表示： $\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}=a_{11}*a_{22}-a_{21}*a_{12}$ .

备注：

1. 行列式计算结果为一个数，即结果为标量。

2. 行列式中某元素用 $a_{ij}$ 表示，代表第 i 行，第 j 列的元素。

3. 使用行列式的定义计算行列式的值时，几阶行列式则每一项就有几个元素相乘。

4. 一阶行列式： $\begin{vmatrix} a_{11} \end{vmatrix}= a_{11}$ ，“| |”非绝对值。

1.3 三阶行列式

（1）定义：由 3行 3列 9个元素构成的式子。

（2）表示方法：

（3）常见特殊行列式：

主对角线-上三角行列式：主对角线-下三角行列式：

$D_{1}=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11} * a_{22}*a_{33}$ $D_{2}=\begin{vmatrix} a_{11}& 0 & 0\\ a_{21} & a_{22}& 0\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}*a_{22}*a_{33}$

主对角线-对角行列式：

$D_{3} =\begin{vmatrix} a_{11}& 0 &0 \\ 0 &a_{22} &0 \\ 0 & 0 & a_{33} \end{vmatrix}=a_{11}*a_{22}*a_{33}$

副对角线-上三角行列式：副对角线-下三角行列式：

$D_{4}=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}& a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & 0 \\ a_{31} & 0 & 0 \end{vmatrix} = -a_{13} * a_{22}*a_{31}$ $D_{5}=\begin{vmatrix} 0 & 0& a_{13}\\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = -a_{13} * a_{22}*a_{31}$

副对角线-对角行列式：

$D_{6}=\begin{vmatrix} 0 & 0& a_{13}\\ 0 & a_{22} & 0 \\ a_{31} & 0 & 0 \end{vmatrix} = -a_{13} * a_{22}*a_{31}$

2. n阶行列式

2.1 基础知识

（1）排列

1）定义：由1,2,3...n组成的有序数列，则称为一个n级排列。

2）排列数：n级排列的排列个数。n级排列的排列数为n! 。

备注：n级标准排列：从1到n按照递增顺序排列的n级排列。

（2）逆序

1）定义：在一个n级排列中，如果较大的数 $i_{s}$ 排在了较小的数 $i_{t}$ 的前面，则称 $i_{s}$ 与 $i_{t}$ 构成了一个

逆序。

2）逆序数：在一个n级排列中逆序的个数。记作： $N(i_{1}i_{12}...i_{n})$ 。

备注：n级标准排列的逆序数为0。

（3）排列的奇偶性

1）奇排列：在一个n级排列中，若逆序数为奇数，则称该排列为奇排列。

2）偶排列：在一个n级排列中，若逆序数为偶数，则称该排列为偶排列。

备注：n级标准排列是偶排列。

（4）对换

定义：在一个n级排列中，任意互换两个数的位置，其余数的位置不变，则形成一个新的n级排

列，此操作称之为对换。

备注：

1. 一个n级排列每对换一次，奇偶性发生一次改变。

2. n级排列的排列数为n!，其中奇排列的个数与偶排列的个数相等，为n!/2(n≥2)。

2.2 n阶行列式

（1）定义：由 n行 n列 $n^{2}$ 个元素构成的式子，简记为 $\begin{vmatrix} a_{ij} \end{vmatrix}_{n*n}$ 。

（2）表示方法：

1）n阶行列式按行展开：

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... &a_{2n} \\ ...& ... & ... & ...\\ a_{n1} & a_{n2} & ... &a_{nn} \end{vmatrix}=\sum_{j_{1}j_{2}...j_{n}}^{}(-1)^{N(j_{1}j_{2}...j_{n})}a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}...a_{nj_{n}}$

备注：

1. 一共有n!项做和；

2. 每一项中包含了n个元素，这n个元素的行标取标准排列，列标取排列的所有可能；

3. 每一项的正负由这n个元素的列标排列的奇偶性决定；

4. 确保每一项取自不同行不同列的元素相乘。

$eg:\begin{vmatrix} 1& 2 & 0 &9 \\ 5& 7& 10 &8 \\ 4& 6& 6&9 \\ 5& -1& 9 &7 \end{vmatrix}$ $eg:\begin{vmatrix} 1&0 & 0&0 \\ 0& 2& 0 &0 \\ 0& 0& 3&4 \\ 0& 0 & 5& 6 \end{vmatrix}$

小贴士：明确按行展开后，那么第一行取啥昵，第二行取啥昵，要保证是不同行不同列呦！

2）n阶行列式按列展开：

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... &a_{2n} \\ ...& ... & ... & ...\\ a_{n1} & a_{n2} & ... &a_{nn} \end{vmatrix}=\sum_{i_{1}i_{2}...i_{n}}^{}(-1)^{N(i_{1}i_{2}...i_{n})}a_{i_{1}1}a_{i_{2}2}...a_{i_{n}n}$

备注：

1. 一共有n!项做和；

2. 每一项中包含了n个元素，这n个元素的列标取标准排列，行标取排列的所有可能；

3. 每一项的正负由元素的行标排列的奇偶性决定；

4. 确保每一项取自不同行不同列的元素相乘。

$eg:\begin{vmatrix} 1& 2& 3&4 \\ 0& 5& 6&7 \\ 0& 0& 8&9 \\ 0& 0& 0&10 \end{vmatrix}$ $eg:f(x) = \begin{vmatrix} 2x& 1 & 1& 2\\ 3& 2& x& 1\\ x& x& 1& 2\\ 2& 1& 1 & 3x \end{vmatrix}\Rightarrow ?x^{4}$

小贴士：明确按列展开后，那么第一列取啥昵，第二列取啥昵，要保证是不同行不同列呦！

（3）常见特殊行列式：

主对角线-上、下三角行列式：

$D_{12} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & ... &a_{1n} \\ & a_{22} & ... &a_{2n} \\ & &... &... \\ & & & a_{nn} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{11}& & & \\ a_{21}& a_{22} & & \\ ...& ... & ... & \\ a_{n1} & a_{n2} &... & a_{nn} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}...a_{nn}$

主对角线-对角行列式：

$D_{3} =\begin{vmatrix} a_{11} & & & \\ & a_{22} & & \\ & &... & \\ & & & a_{nn} \end{vmatrix}=a_{11} a_{22} ...a_{nn}$

副对角线-上、下三角行列式：

$D_{45}=\begin{vmatrix} * & * &*& a_{1}\\ * & * &a_{2}& \\ * & ... & & \\ a_{n} & & & \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} & & &a_{1} \\ & & a_{2}&* \\ & ... & *& *\\ a_{n}& * & * &* \end{vmatrix}=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_{1}a_{2}...a_{n}$

副对角线-对角行列式：

$D_{6}=\begin{vmatrix} & & &a_{1} \\ & & a_{2} & \\ & ...& & \\ a_{n}& & & \end{vmatrix}=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_{1} a_{2} ...a_{n}$

小贴士：若行列式的某行或某列的元素全为0，那么此行列式的值为0。

3. 行列式的性质

引：转置行列式：就是把行列式相对应的行与列进行互换，记作 $D^{T}$ 。

（1）行列式与转置行列式的值相等，即行列式的行列互换，其值不变。

$eg:\begin{vmatrix} a&b &c\\ u& v & w\\ x& y &z \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a & u& x\\ b & v&y \\ c & w &z \end{vmatrix}$

（2）交换行列式的两行（两列），行列式的值符号改变。

$eg:\begin{vmatrix} a & b & c\\ u & v & w\\ x & y & z \end{vmatrix}=-\begin{vmatrix} u& v& w\\ a& b &c \\ x & y & z \end{vmatrix}$

推论：若行列式中有两行（两列）对应的元素相等或成比例，则行列式的值为0。

（3）用数 k 去乘行列式的某一行（列）的所有元素，等于用数 k 去乘此行列式。

$eg:\begin{bmatrix} k*a & k*b&k*c \\ u & v& w\\ x& y & z \end{bmatrix}=k*\begin{vmatrix} a & b & c\\ u& v & w\\ x& y & z \end{vmatrix}$

推论：若行列式的所有行（列）均有公因子 k，则 k 外提 n 次，提出去的 k 乘到一起。

（4）若行列式的某一行（列）的各元素都是两个数之和，则此行列式等于两个行列式之和，这两

个行列式分别以这两个数之一作为所在行（列）对应位置的元素，其他位置的元素与原行列

式相同。

$eg:\begin{vmatrix} a+k_{1}&b+k_{2} &c+k_{3} \\ u & v& w\\ x & y & z \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a& b & c\\ u & v& w\\ x & y & z \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} k_{1}&k_{2} &k_{3} \\ u & v& w\\ x & y & z \end{vmatrix}$

注意：每次仅拆分一行（一列），多次拆分最好分开操作。

（5）将行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一数k后加到另一行（列）对应位置的元素上，则

行列式的值不变。

$eg:\begin{vmatrix} a & b& c\\ u & v & w\\ x & y& z \end{vmatrix}\overset{Row(1)*k+Row(3) }{\rightarrow}=\begin{vmatrix} a & b& c\\ u & v & w\\ a*k+x & b*k+ y&c*k+ z \end{vmatrix}$

注意：使用时按照顺序执行，不要反其道而行之。

小贴士：

反对称行列式：n阶行列式中的元素满足 $a_{ij}=-a_{ji}$ 。

1. 主对角线元素全为0。

2. 以主对角线为轴，上下元素互为相反数。

3. 奇数阶反对称行列式的值为0。

4. 行列式按一行（列）展开

4.1 余子式与代数余子式

（1）余子式：在n(n>1)阶行列式中，把元素 $a_{ij}$ 所在的行与列去掉，剩余的元素按照原来的相对位

置，重新组合成新的n-1阶行列式，那么新的n-1阶行列式称为该元素的余子式，记作 $M_{ij}$ 。

（2）代数余子式：把 $(-1)^{i+j}M_{ij}$ 称为该元素的代数余子式，记作 $A_{ij}$ 。

备注： $A_{ij}$ = $(-1)^{i+j}M_{ij}$ 。

4.2 行列式按一行（列）展开

（1）定义：n阶行列式的值等于它的任意一行(列)的所有元素与其对应的代数余子式的乘积的和。

（2）方法：先按照行列式的性质尽可能多的化0，然后再按照0比较多的行(列)展开。

（3）意义：把高阶行列式化为低阶行列式来计算。

4.3 异乘变零原理

定义：在n(n>1)阶行列式中，某一行（列）的所有元素与另一行（列）中对应元素的代数余子式

的乘积的和为0。

5. 行列式按多行（列）展开

5.1 k阶余子式与代数余子式

（1）k阶子式：在n阶行列式中，任意选取k行k列(1≤k≤n)，位于行列交叉点的 $k^{2}$ 个元素，按照原来

的相对位置，重新组合成新的k阶行列式，那么新的k阶行列式称为原行列式的一个k阶子式。

（2）k阶余子式：在n阶行列式中，把k阶子式所在行与列去掉，剩余的元素按照原来的相对位置，

重新组合成新的n-k阶行列式，那么新的n-k阶行列式就称为该k阶子式的余子式，记作 $M$ 。

（3）k阶代数余子式：把 $(-1)^{i_{1}+..+i_{k}+j_{1}+..+j_{k}}M$ ( $ij$ 表示k阶子式是由哪几行哪几列组成的)称为

该k阶子式的代数余子式，记作 $A$ 。

备注： $A=(-1)^{i_{1}+..+i_{k}+j_{1}+..+j_{k}}M$

5.2 行列式按多行（列）展开

（1）定义：在n阶行列式中，任意选取k行（列）(1≤k≤n-1)，则由这k行（列）元素所组成的所有

k阶子式与它们对应的代数余子式的乘积的和，就是n阶行列式的值。

（2）方法：行（列）的选取原则是要保证所组成的k阶子式可用于计算的数量最少。

（3）意义：把高阶行列式化为低阶行列式来计算。

5.3 常用特殊行列式

主对角线-上、下三角行列式：主对角线-对角行列式：

$D_{12}=\begin{vmatrix} A & C\\ O & B \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} A & O\\ C & B \end{vmatrix}=|A|*|B|$ $D_{3}=\begin{vmatrix} A& O\\ O & B \end{vmatrix}=|A|*|B|$

副对角线-上、下三角行列式：

$D_{45}=\begin{vmatrix} C & A\\ B & O \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} O & A\\ B & C \end{vmatrix}=(-1)^{mn}|A|*|B|$

副对角线-对角行列式：

$D_{6}=\begin{vmatrix} O& A\\ B & O \end{vmatrix}=(-1)^{mn}|A|*|B|$

备注：A是m阶行列式，B是n阶行列式，O是全为0的行列式。

6. 克拉默法则

（1）含有 n个方程 n个未知数的 n元非齐次线性方程组：

$\left\{\begin{matrix} a_{11}x_{1} +a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}+...+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\ a_{21}x_{1} +a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}+...+a_{2n}x_{n}=b_{2} \\ ......\\ a_{n1}x_{1} +a_{n2}x_{2}+a_{n3}x_{3}+...+a_{nn}x_{n}=b_{1} \end{matrix}\right.$

当系数行列式D ≠ 0时（系数行列式：由未知数的系数按照其相对位置所构成的行列式），

$D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}& ...&a_{1n} \\ a_{21} & a_{22}& ...&a_{2n} \\ ... & ... & ...& ...\\ a_{n1} & a_{n2}& ...&a_{nn} \end{vmatrix}\neq 0$

则方程组有唯一解，且唯一解为：

$x_{1}=\frac{D_{1}}{D},x_{2}=\frac{D_{2}}{D},...,x_{n}=\frac{D_{n}}{D}.$

其中（行列式 $D_{j}$ 是系数行列式 $D$ 中第 $j$ 列元素换为方程组右端的常数项所得）：

$D_{1}=\begin{vmatrix} b_{1} & a_{12} &... & a_{1n}\\ b_{2} & a_{22} &... & a_{2n}\\ ... & ... & ... & ...\\ b_{n} & a_{n2} &... & a_{nn} \end{vmatrix},D_{2}=\begin{vmatrix} a_{11} &b_{1} &... & a_{1n}\\ a_{21}&b_{2} &... & a_{2n}\\ ... & ... & ... & ...\\ a_{n1}& b_{n} &... & a_{nn} \end{vmatrix}$

$D_{n}=\begin{vmatrix} a_{11}& a_{12} &... & b_{1} \\ a_{21}& a_{22} &... & b_{2} \\ ... & ... & ... & ...\\ a_{n1} & a_{n2} &... &b_{n} \end{vmatrix}$

备注：克拉默法则使用的前提条件：

1. 方程的个数等于未知数的个数。

2. 系数行列式不等于0。

（2）含有 n个方程 n个未知数的 n元齐次线性方程组：

$\left\{\begin{matrix} a_{11}x_{1} +a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}+...+a_{1n}x_{n}=0\\ a_{21}x_{1} +a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}+...+a_{2n}x_{n}=0 \\ ......\\ a_{n1}x_{1} +a_{n2}x_{2}+a_{n3}x_{3}+...+a_{nn}x_{n}=0 \end{matrix}\right.$

当系数行列式D ≠ 0时（系数行列式：由未知数的系数按照其相对位置所构成的行列式），

$D=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}& ...&a_{1n} \\ a_{21} & a_{22}& ...&a_{2n} \\ ... & ... & ...& ...\\ a_{n1} & a_{n2}& ...&a_{nn} \end{vmatrix}= 0$

则方程组只有零解（零解不是无解，解是0）。

$x_{1}=x_{2}=...=x_{n}=\frac{D_{j}}{D}=0.$

备注：克拉默法则使用的前提条件：

1. 方程的个数等于未知数的个数。

2. 系数行列式不等于0。

（3）重要知识点：

对于方程组的个数等于未知数的个数的齐次线性方程组而言：

1）齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是D = 0。

2）齐次线性方程组只有零解的充分必要条件是D ≠ 0。

小贴士：

（1）在n阶行列式中，若行（列）的和相等，则每列的所有元素加到第一列（行）上。

$eg:\begin{vmatrix} a& b& b&b \\ b& a& b& b\\ b& b & a& b\\ b& b &b & a \end{vmatrix}$

（2）对于爪型行列式（箭头形状），则每列（除第一列外）处理后都加到第一列上，使第一

列元素变为0（第一行除外）。

$eg:\begin{vmatrix} 1& 1& 1 &1 \\ 1& -2& 0 & 0\\ 1& 0 & -3&0 \\ 1& 0& 0& -4 \end{vmatrix}$

（3）范德蒙德行列式：运算时仅看第二行元素就行，逐一作差相乘。