线性代数学习笔记之二次型

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#线性代数 #学习 #笔记

于 2024-12-18 16:47:04 首次发布

1. 二次型的基本概念

（1）二次型的定义：含有 $n$ 个变量 $x_{1},x_{2},...x_{n}$ 的二次齐次函数，即：

$f(x_{1},x_{2},...x_{n}) = a_{11}x_{1}^{2}+...+a_{nn}x_{n}^{2}+2a_{12}x_{1}x_{2}+...+2a_{n-1,n}x_{n-1}x_{n}$ ，

称为二次型，简记 $f(x_{1},x_{2},...x_{n})$ 或 $f$ 。

备注：

①：若 $f(x_{1},x_{2},...x_{n})$ 为二次型，当包含 $n$ 个变量时，则称 $f(x_{1},x_{2},...x_{n})$ 为 $n$ 元二次型。

②：二次型可以只有平方项，也可以只有交叉项，也可以既有平方项又有交叉项。

③：此篇幅所说的对称矩阵皆为实对称矩阵。

（2）二次型的矩阵形式：

对二次型原型进行处理，可得：

$f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=(x_{1},x_{2},...,x_{n})\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &... &a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} &... &a_{2n} \\ ...& ...& ... &... \\ a_{n1} &a_{n2} &... & a_{nn} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ ...\\ x_{n} \end{pmatrix}$ .

简记： $f(x_{1},x_{2},...x_{n})=x^{T}Ax$ . $\Leftarrow$ 二次型的矩阵形式，其中： $x$ 是列向量，矩阵A是对称矩阵( $A^{T} = A$ )。

简要：任给一个二次型，就唯一确定一个对称矩阵；任给一个对称矩阵，就唯一确定一个二次型。

$\Rightarrow$ 二次型与对称矩阵之间存在一一对应关系。

$\Rightarrow$ 对称矩阵A就叫做二次型 $f$ 的矩阵，二次型 $f$ 就叫做对称矩阵A的二次型。

备注：

例1：已知二次型 $f(x_{1},x_{2},...x_{n})$ ，求解对称矩阵A。

①：平方项的系数作为对称矩阵A的主对角线元素。 $kx_{i}^{2}$ $\rightarrow$ $k= a_{ii}$ 。

②：交叉项的系数除以2，放在变量角标的对应位置上。 $kx_{i}x_{j}$ $\rightarrow$ $\frac{k}{2}=a_{ij}$ 。

③：利用对称矩阵的对称性，进行填充其余位置。

例2：已知对称矩阵A，求解二次型 $f(x_{1},x_{2},...x_{n})$ 。

①：对称矩阵A的主对角线元素作为平方项的系数。 $a_{ii}$ $\rightarrow$ $a_{ii}x_{i}^{2}$ 。

②：主对角线右上角的各元素乘以2，作为交叉项的系数。 $a_{ij}$ $\rightarrow$ $2a_{ij}x_{i}x_{j}$ 。

③：只取主对角线右上角或左下角的元素，不能上下都取。

列3：已知给定的函数 $f(x_{1},x_{2},...x_{n})=x^{T}Ax$ ，求解函数展开式形式。

①：若矩阵A不是对称矩阵，则采用对称化的方法先将矩阵A变为对称矩阵，然后再展开。

②：对称化方法：以主对角线为轴，轴线两侧相对应的元素，先做和，再除以2，得到对称矩阵。

例4：如何证明一个矩阵是二次型矩阵。

①：首先证明矩阵A是否可以写成二次型的矩阵形式 $x^{T}Ax$ 。

②：然后证明矩阵A是否是对称矩阵，即： $A^{T}=A$ 。