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RSS订阅原创 数值分析：线性方程组的直接解法
文章目录线性方程组的直接解法Gauss（高斯）消元法高斯消元法与矩阵的LU分解对称正定矩阵的楚列斯基分解解对称正定方程组的平方根法追赶法本篇文章适合个人复习翻阅，不建议新手入门使用本专栏：数值分析复习 的前置知识主要有：数学分析、高等代数、泛函分析线性方程组的直接解法Gauss（高斯）消元法设有线性方程组{a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋮an1x1+an2x2+⋯+annxn=bn\begin{cases} a_{11}x_1
2024-05-20 19:36:46
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原创 高等代数复习：同构定理
文章目录同构定理本篇文章适合个人复习翻阅，不建议新手入门使用同构定理接下来我们要证明如下几个同构定理定理（线性映射同构定理）设 φ：V→V′\varphi：V\to V'φ：V→V′ 是一个线性映射，则存在一个自然的线性同构V/kerφ≅ImφV/\ker \varphi \cong \operatorname{Im} \varphiV/kerφ≅Imφ定理（群同态基本定理）设 σ:G→G′\sigma:G\to G'σ:G→G′ 是一个群同态，则存在一个自然的群同构G/kerσ
2024-05-14 22:20:00
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原创 高等代数复习：多项式矩阵
定义：多项式矩阵（λ\lambdaλ阵）形如以下的矩阵a11λa12λ⋯a1nλa21λa22λ⋯a2nλ⋮⋮⋮am1λam2λ⋯amnλa11λa21λ⋮am1λa12λa22λ⋮am2λ⋯⋯⋯a1nλa2nλ⋮amnλ称为多项式矩阵，或称λ\lambdaλ矩阵，记为Aλ。
2024-05-14 15:57:08
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原创 数学分析复习：不定积分表
本文列举了计算不定积分的一些实用结论cscx=1sinx,secx=1cosx,cotx=cscxsecx\csc{x}=\frac{1}{\sin{x}},\sec{x}=\frac{1}{\cos{x}},\cot{x}=\frac{\csc{x}}{\sec{x}}cscx=sinx1,secx=cosx1,cotx=secxcscxsinhx=ex−e−x2,coshx=ex+e−x2,tanhx=sinhxcoshx\sinh {x}=\frac{e^{x}-e^{-
2024-05-10 14:22:28
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原创 高等代数复习：极小多项式
定义：零化多项式对nnn阶矩阵AAA，若存在一个非零首一多项式fxf(x)fx，使得fA0f(A)=0fA0，则称fff为AAA的零化多项式定义：极小多项式nnn阶矩阵AAA的零化多项式中的次数最小者称为AAA的极小多项式命题：极小多项式的存在性任意nnn阶矩阵AAA均有零化多项式证明思路由于nnn阶矩阵空间是n2n^2n2维的，则下列n21n^2+1n21个矩阵必线性相关IAA2An2IAA2A。
2024-05-06 09:09:40
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原创 高等代数复习：可对角化
定义：可对角化的线性映射若nnn维线性空间VVV上的线性变换φ\varphiφ在某组基e1e2ene1e2en下的表示矩阵为对角阵λ1λ2⋱λnλ1λ2⋱λn则称φ\varphiφ为可对角化线性变换定义：可对角化的矩阵设AAA是nnn阶矩阵，若AAA相似于对角阵，即存在可逆阵PPP，使得P−1APP^{-1}APP−1AP是对角阵，则称AAA。
2024-05-05 10:37:54
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原创 高等代数复习：多项式
文章目录一元多项式环整除最大公因式因式分解多项式的根复系数多项式实系数多项式和有理系数多项式本篇文章适合个人复习翻阅，不建议新手入门使用一元多项式环定义：一元多项式设数域 K\mathbb{K}K，未定元 xxx，若 a0,a1,…,an∈K(an≠0,n≥0)a_0,a_1,\dots,a_n\in \mathbb{K}(a_n\neq 0,n\geq 0)a0,a1,…,an∈K(an=0,n≥0)，称形式表达式f(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0f(x)=a_
2024-05-03 09:34:13
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原创 数值分析复习：误差
当数学模型不能得到精确解时，通常要用数值方法求它的近似解，其近似解与精确解之间的误差称为截断误差（或方法误差）用计算机做数值计算时，由于计算机字长有限，原始数据在计算机上表示时会产生误差，计算过程又可能产生新的误差，这种误差称为舍入误差。以下介绍舍入误差的相关概念。
2024-04-25 17:15:31
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原创 数学分析复习： 连续函数、可微函数的重要结论梳理
文章目录连续函数、可微函数的重要结论梳理总结细节1.有界性定理2.最值定理3.介值定理4.中值定理5.洛必达法则6.泰勒公式本篇文章适合个人复习翻阅，不建议新手入门使用连续函数、可微函数的重要结论梳理总结在数学分析一中，关于闭区间上的连续函数，我们用区间套公理可获得一系列结论区间套定理 ⇒\Rightarrow⇒ 有界性定理 ⇒\Rightarrow⇒ 最值定理 ⇒\Rightarrow⇒ 介值定理若进一步要求函数可微，则有最值定理 ⇒\Rightarrow⇒ 中值定理 ⇒\Rightar
2024-04-25 09:49:27
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原创 数值分析复习：Richardson外推和Romberg算法
文章目录Richardson外推Romberg（龙贝格）算法本篇文章适合个人复习翻阅，不建议新手入门使用本专栏：数值分析复习 的前置知识主要有：数学分析、高等代数、泛函分析本节继续考虑数值积分问题Richardson外推命题：复合梯形公式的另一形式设 f∈C∞[a,b]f\in C^{\infty}[a,b]f∈C∞[a,b]，记 I=∫abf(x)dxI=\int_a^bf(x)\mathrm{d}xI=∫abf(x)dx ，将复合梯形公式记为T(h)=h2∑i=0n−1[f(xi)+
2024-04-22 20:11:12
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原创 高等代数复习：线性映射
定义：线性映射设数域K\mathbb{K}K上的线性空间UVU,VUV，映射φV→UφV→Uφαβφαφβαβ∈Vφαβφαφβαβ∈Vφkαkφαk∈Kα∈Vφkαkφαk∈Kα∈V则称φ\varphiφ是V→UV\to UV→U的线性映射；若φ\varphiφ是双射，则称φ\varphiφ是线性同构命题：线性映射全体构成的线性空间设LVULVU。
2024-04-08 22:23:40
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原创 数值分析复习：逼近理论的应用——最小二乘问题、解超定、欠定方程组
本篇文章适合个人复习翻阅，不建议新手入门使用的前置知识主要有：数学分析、高等代数、泛函分析。
2024-03-29 22:00:56
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原创 数学系的数字信号处理：离散信号和离散傅立叶变换
本专栏：数学系的数字信号处理 的前置知识主要有：数学分析（傅立叶级数的部分），泛函分析（LpL^pLp空间的部分）离散信号和离散傅立叶变换定义、性质定义：离散信号即复数列 {an}:N→C\{a_n\}:\mathbb{N}\to\mathbb{C}{an}:N→C若无特别说明，下面均记 SnS_nSn 是以 nnn 为周期的复数列信号全体构成的集合定义：离散傅立叶变换设 y={yj}j=0n−1∈Sny=\{y_j\}_{j=0}^{n-1}\in S_ny={yj}j=0n−1
2024-03-29 09:12:14
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原创 数学分析复习：连续函数
根据函数极限的第一种定义，可以给出连续性的第一种定义定义：函数的连续性设函数fxf(x)fx在x0x_0x0附近有定义，在x0x_0x0处有极限，若limx→x0fxfx0x→x0limfxfx0，则称fxf(x)fx在点x0x_0x0处是连续的根据函数极限的第二种定义，可以给出连续性的另一定义定义：函数的连续性设函数fxf(x)fx在x0x_0x0附近有定义，在x0。
2024-03-28 10:54:29
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原创 数学分析复习：实数项级数的收敛
定义：实数项级数收敛设实数项级数∑i1∞aii1∑∞ai，设部分和xn∑i1naixni1∑nai若xn\{x_n\}xn收敛，则称级数∑i1∞aii1∑∞ai收敛，记∑i1∞ailimn→∞xni1∑∞ain→∞limxn若xn\{x_n\}xn发散，则称级数∑i1∞aii1∑∞。
2024-03-27 17:34:56
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原创 数学分析复习：一元函数的极限
定义：函数极限设函数fxf(x)fx若∀ε0∃δ0∀x∈Oox0δst∣fx−A∣ε∀ε0∃δ0∀x∈Oox0δst.∣fx−A∣ε其中Oox0δOox0δ表示x0x_0x0的去心邻域则称fxf(x)fx在x0x_0x0处有极限AAA，记为limx→x0fxAx→x0limfxA若∀ε0。
2024-03-27 11:08:59
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原创 数学分析复习：无穷乘积
若数列Pnn≥1Pnn≥1的极限存在且不为 0 ，则称无穷乘积∏n≥1ann≥1∏an收敛，记∏n≥1anlimn→∞Pnn≥1∏ann→∞limPn。
2024-03-26 19:57:06
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原创 数学分析复习：初等函数的构造
定义：（指数函数）expR→Rx↦expxex∑k0∞xkk!xk注：需验证良定义性：即每一点均收敛（只需将阶乘放缩为幂函数）性质指数函数是一个群同态：即保持RR到R0⋅R0⋅的运算exyex⋅eyexyex⋅ey为证明该性质，需要引入两个级数的乘积。
2024-03-23 14:44:11
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