高等数学学习笔记 ☞ 单调性、凸凹性、极值、最值、曲率

1.  单调性

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1. 单调性定义：设函数在区间上有定义，对于区间上任意两点，若：

    ①：当时，恒有，则称函数在区间上单调递增。

    ②：当时，恒有，则称函数在区间上单调递减。

    简记：同增异减。

2. 单调性判定方法：设函数在区间上可导，若在区间上：

    ①：，则称函数在区间上单调递增。

    ②：，则称函数在区间上单调递减。

 3. 常见误区点：

（1）已知函数，那么其导数为。

         当时，；当时，。

         此时函数在是单调递增的。

说明：函数在区间上有限个点的导数为零，是不影响函数整体单调性的，故写区间时不需要纠结有限的点。

（2）已知函数，那么其导数为。

         当时，函数在是单调递增的。

         当时，函数在是单调递减的。

说明：函数的单调性研究的是区间上的单调性，单独的点不具备单调性的定义，所以写区间时包不包含该点都一样。

           但当某个点是使得函数没有意义的点，那肯定就不能包含了。

（3）已知函数，则：

          在是单调递减的，在是单调递减的。

          此时函数在，是单调递减的。

说明：写区间时应该写成，，而不能写成，因为这样写不满足单调性的定义，即：

           当时，无法保证，所以此时的单调区间不能写成这种集合的形式。

4. 单调性求解过程：

    第一步：确认函数的定义域，并求解函数的一阶导；

    第二步：求解令的点(驻点)；

    第三步：判断在上述点两侧的正负情况，画表进行单